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相关试卷

1、某校为了增强学生的安全意识，为学生进行了安全知识讲座，讲座后从全校学生中随机抽取了 $300$ 名学生进行笔试 $($ 试卷满分 $100$ 分 $)$ ，并记录下他们的成绩，将数据分成 $5$ 组： $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ ，并整理得到如下频率分布直方图.

(1)、求这部分学生成绩的众数与平均数 $($ 同组数据用该组区间的中点值作代表 $)$ ；

(2)、估计这组数据的上四分位数；

(3)、为了更好的了解学生对安全知识的掌握情况，学校决定在成绩高的第 $4$ 、 $5$ 组中用分层抽样的方法抽取 $6$ 名学生，进行第二轮比赛，最终从这 $6$ 名学生中随机抽取 $3$ 人参加市安全知识竞赛，求 $90$ 分 $($ 包括 $90$ 分 $)$ 以上的同学恰有 $2$ 人被抽到的概率.

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2、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, 5)$ ， $\vec{c} = (2 t + 1, t), (t \in R)$ .

(1)、若 $\vec{c} ⊥ \vec{b}$ ，求t的值；

(2)、若 $\vec{c}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角为钝角，求t的取值范围.

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3、在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ 的平分线交 $A C$ 于点 $D$ ， $∠ A B C = \frac{2 π}{3}$ ， $B D = 8$ ，则 $△ A B C$ 周长的最小值为.

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4、若复数 $z$ 满足 $z = 4 + 3 i$ ，则 $| z | =$ .

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5、长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $A B = A A_{1} = \sqrt{3} ， A D = 1$ ，则下列说法中正确的是（）

A、长方体外接球的表面积等于 $7 π$ B、 $P$ 是线段 $B D$ 上的一动点，则 $P A + P B_{1}$ 的最小值等于3 C、点 $A_{1}$ 到平面 $点 C_{1} B D$ 的距离等于 $\frac{4 \sqrt{15}}{5}$ D、二面角 $A_{1} - B D - A$ 的正切值等于2

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6、平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在如图的三种分布形态中，平均数和中位数的大小关系中正确的有（）

A、丙图中平均数大于中位数 B、乙图中平均数大于中位数 C、甲图中平均数和中位数应该大体上差不多 D、乙图中平均数小于中位数

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7、下列各组向量中，不能作为基底的是（）

A、 ${\vec{e}}_{1} = (0, 0)$ ， ${\vec{e}}_{2} = (1, 1)$ B、 ${\vec{e}}_{1} = (1, 2)$ ， ${\vec{e}}_{2} = (- 2, 1)$ C、 ${\vec{e}}_{1} = (- 3, 4)$ ， ${\vec{e}}_{2} = (\frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$ D、 ${\vec{e}}_{1} = (2, 6)$ ， ${\vec{e}}_{2} = (- 1, - 3)$

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8、在一个封闭的直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 内有一个体积为V的球，若 $A B ⊥ B C$ ， $A B = 6$ ， $A C = 10$ ， $A A_{1} = 5$ ，则球的体积的最大值为（）

A、 $\frac{125}{6} π$ B、 $\frac{32}{3} π$ C、 $27 π$ D、 $36 π$

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9、正方形 $A B C D$ 的边长等于2，用斜二测画法画出水平放置的正方形 $A B C D$ 的直观图，则直观图的面积为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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10、在跳水比赛中，有8名评委分别给出某选手原始分，在评定该选手的成绩时，从8个原始分中去掉1个最高分和1个最低分（最高分和最低分不相等），得到6个有效分，这6个有效分与8个原始分相比较，下列说法正确的是（）

A、中位数，平均分，方差均不变 B、中位数，平均分，方差均变小 C、中位数不变，平均分可能不变，方差变小 D、中位数，平均分，方差都发生改变

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11、在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $A B$ 边上一点.若 $\overset{⃑}{A D} = 2 \overset{⃑}{D B}, \overset{⃑}{C D} = \frac{1}{3} \overset{⃑}{C A} + λ \overset{⃑}{C B}$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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12、 $△ A B C$ 中角 $A ， B ， C$ 所对的边为 $a, b, c$ ，若 $b = c = 1$ ， $a = \sqrt{3}$ ，则角 $A$ 等于（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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13、在 $△ A B C$ 中 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{C B} = \vec{b}$ ，则 $\vec{C A}$ 等于（）

A、 $\vec{a} + \vec{b}$ B、 $\vec{a} - \vec{b}$ C、 $- \vec{a} - \vec{b}$ D、 $\vec{b} - \vec{a}$

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14、设 $z_{1} = 1 + i$ ， $z_{2} = - 2 - 2 i$ 则在复平面内 $z_{1} + z_{2}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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15、设非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，则“ $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ”是“ $\vec{a} = \vec{b}$ 或 $\vec{a} = - \vec{b}$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、即不充分也不必要条件

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16、冒泡排序是一种计算机科学领域的较简单的排序算法，其基本思想是：通过对待排序序列 $\{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}\}$ 从左往右，依次对相邻两个元素 $\{x_{k}, x_{k + 1}\} (k = 1, 2, \dots, n - 1)$ 比较大小，若 $x_{k} > x_{k + 1}$ ，则交换两个数的位置，使值较大的元素逐渐从左移向右，就如水底下的气泡一样逐渐向上冒，重复以上过程直到序列中所有数都是按照从小到大排列为止.例如：对于序列 $\{2, 1, 4, 3\}$ 进行冒泡排序，首先比较 $\{2, 1\}$ ，需要交换1次位置，得到新序列 $\{1, 2, 4, 3\}$ ，然后比较 $\{2, 4\}$ ，无需交换位置，最后比较 $\{4, 3\}$ ，又需要交换1次位置，得到新序列 $\{1, 2, 3, 4\}$ 最终完成了冒泡排序，同样地，序列 $\{1, 4, 2, 3\}$ 需要依次交换 $\{4, 2\}, \{4, 3\}$ 完成冒泡排序.因此， $\{2, 1, 4, 3\}$ 和 $\{1, 4, 2, 3\}$ 均是交换2次的序列.现在对任一个包含 $n$ 个不等实数的序列进行冒泡排序 $(n \geq 3)$ ，设在冒泡排序中序列需要交换的最大次数为 $a_{n}$ ，只需要交换1次的序列个数为 $b_{n}$ ，只需要交换2次的序列个数为 $c_{n}$ ，则（）

A、序列 $\{2, 7, 1, 8\}$ 是需要交换3次的序列 B、 $a_{n} = \frac{n (n - 1)}{2}$ C、 $b_{n} = n - 1$ D、 $c_{5} = 9$

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17、一个与自然数 $n$ 有关的命题，如果：
①当 $n = n_{0}$ 时，命题成立；
②在假设“当 $n = k (k \geq n_{0})$ 时，命题成立”的前提下，能够推出“当 $n = k + 1$ 时，合题成立”．
那么，命题对于任何不小于 $n_{0}$ 的自然数 $n$ 成立．
上述方法，称为“数学归纳法”．
例如，利用“数学归纳法”证明：平面内的 $n$ 个圆将平面至多分为 $n^{2} - n + 2$ 个区域，其中 $n \in N^{*}$ ．
注意1个圆将平面分为2个区域．当 $n = 1$ 时， $n^{2} - n + 2 = 2$ ．
所以，当 $n = 1$ 时，命题成立．
假设当 $n = k (k \geq 1)$ 时，命题成立，即平面内的 $k$ 个圆将平面至多分为 $k^{2} - k + 2$ 个区域．
在此基础上，增加1个圆．
为使区域最多，应使增加的圆与前 $k$ 个圆均相交，于是增加了 $2 k$ 个交点， $2 k$ 个交点将增加的圆分为 $2 k$ 段弧， $2 k$ 段弧分别将其经过的区域分为2个区域，于是增加了 $2 k$ 个区域．
从而，平面内的 $k + 1$ 个圆将平面至多分为 $(k^{2} - k + 2) + 2 k = k^{2} + k + 2$ 个区域．
当 $n = k + 1$ 时， $n^{2} - n + 2 = {(k + 1)}^{2} - (k + 1) + 2 = k^{2} + k + 2$ ．
所以，当 $n = k + 1$ 时，合题成立．
综上，命题对于任何 $n \in N^{*}$ 成立．
利用“数学归纳法”证明：

(1)、 $1^{2} + 2^{2} + \cdot \cdot \cdot + n^{2} = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)$ ，其中 $n \in N^{*}$ ．

(2)、 $2^{n} > n^{2}$ ，其中 $n \in N^{*}$ ， $n \geq 5$ ．

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18、已知一个等腰直角三角形 $△ D E F$ 的三个顶点分别在另一个等腰直角三角形 $△ A B C$ 的三条不同的边上．

(1)、如图，若 $△ D E F$ 的直角顶点在 $△ A B C$ 的斜边上，求 $△ D E F$ ， $△ A B C$ 的面积之比的最小值．

(2)、如图，若 $△ D E F$ 的直角顶点在 $△ A B C$ 的直角边上．求 $△ D E F$ ， $△ A B C$ 的面积之比的最小值．

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19、（1）观察： $\frac{1}{1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$ 、 $\frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$ 、 $\frac{1}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12}$ 、 $\frac{1}{4} = \frac{1}{5} + \frac{1}{20}$ 、……叙述其中的一般规律，并加以证明．
（2）求证：对于任何 $n \in N^{*}$ 、 $n \geq 3$ ，存在 $m$ ， $k \in N^{*}$ ，使得 $\frac{1}{n} = \frac{1}{m (m + 1)} + \frac{1}{(m + 1) (m + 2)} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{(m + k) (m + k + 1)}$ ．

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20、求下列关于 $x$ 的不等式的解集：

(1)、 $| x - 1 | \geq \frac{2}{x}$

(2)、 $\sqrt{x + 1} < \sqrt{2} x$

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