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相关试卷

1、设定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，若满足 $x f^{'} (x) - f (x) = x^{2} e^{x}$ ，且 $f (1) = e$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增 B、不等式 $f (x) \geq e$ 的解集为 $[1, + \infty)$ C、若 $f (x) \leq e^{a x}$ 恒成立，则 $a \geq \frac{1}{e} + 1$ D、若 $f (x_{1}) = x_{2} \ln x_{2} = 4$ ，则 $x_{1} x_{2} = 4$

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2、设 $(1 + x) + {(1 + x)}^{2} + \dots + {(1 + x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}$ ，且 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n - 1} = 253 - n$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{n} = 1$ B、 $n = 8$ C、 $a_{3} = 70$ D、 ${(1 + x)}^{n}$ 展开式的偶数项系数和为64

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3、某单位在定点帮扶贫困村 $A$ 村的过程中，因地制宜，优化产业结构，使得该村人均年纯收入逐年提高 $A$ 村村民.2016，2017，2019，2020年这四年的人均年纯收入y（单位：万元）与年份代号x之间的一组数据如表所示.若y与x线性相关，且求得其线性回归方程为 $\hat{y} = x - 2$ ，则下列说法正确的是（）
年份
$2016$
2017
2019
$2020$
年份代号x
4
5
7
8
人均年纯收入y
2.1
m
n
5.9

A、 $m + n = 8$ B、 $2025$ 年 $A$ 村人均年纯收入约为7万元 C、从 $2016$ 年起，每经过1年，村民人均年纯收入约增加1万元 D、 $2020$ 年的人均年纯收入残差值为 $0.1$

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4、在某市的一次质量检测考试中，学生的数学成绩可认为近似服从正态分布，其正态密度曲线可用函数 $f (x) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{{(x - 78)}^{2}}{2 σ^{2}}}$ 的图象拟合，且 $P (78 \leq X \leq 120) = 0.42$ ，若参加本次考试的学生共有10000人，则数学成绩超过120分的人数约为（）

A、600 B、800 C、1200 D、1400

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5、设 $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，已知 $f (x) = 2 f^{'} (1) x - x^{2} + \ln x + 1$ ，则 $f (1) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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6、若 ${(\frac{2}{\sqrt{x}} - \sqrt[3]{x})}^{n}$ 的展开式中二项式系数最大的项仅有第6项，则 ${(\frac{2}{\sqrt{x}} - \sqrt[3]{x})}^{n}$ 展开式中的常数项为（）

A、第4项 B、第5项 C、第6项 D、第7项

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7、下列说法中正确的有（）
①线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 至少经过一个样本点；
②可以用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，r值越大则两个变量的相关程度越强；
③在回归分析中，决定系数 $R^{2} = 0.98$ 的模型比 $R^{2} = 0.97$ 的模型拟合效果要好；
④残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高.

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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8、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热.在第 $x h$ 时，原油的温度（单位： $° C$ ）为 $y = f (x) (0 \leq x \leq 8)$ ，若 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (2 + 2 Δ x) - f (2)}{Δ x} = - 6$ ，则在第2h时，原油温度的瞬时变化率为（）

A、 $- 3 ° C/h$ B、 $3 ° C/h$ C、 $- 6 ° C/h$ D、 $6 ° C/h$

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9、如图，要让电路从A处到B处只有一条支路接通，可有（）条不同路径.

A、4 B、5 C、9 D、10

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10、对四组数据进行统计，获得以下散点图，设①②③④图对应的相关系数分别为 $r_{1}$ ， $r_{2}$ ， $r_{3}$ ， $r_{4}$ ，则 $r_{1}$ ， $r_{2}$ ， $r_{3}$ ， $r_{4}$ 的大小关系为（）

A、 $r_{2} < r_{4} < r_{3} < r_{1}$ B、 $r_{2} < r_{4} < r_{1} < r_{3}$ C、 $r_{4} < r_{2} < r_{3} < r_{1}$ D、 $r_{4} < r_{2} < r_{1} < r_{3}$

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11、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - 1, x \geq 0, \\ - 2 x, x < 0, \end{array} g (x) = 2 \sqrt{1 - x^{2}}$ ．

(1)、若 $f (x) \leq g (x)$ ，求 $x$ 的取值范围．

(2)、记 $max \{a, b\} = \{\begin{array}{l} a (a \geq b), \\ b (a < b), \end{array}$ 已知函数 $y = max \{f (x), g (x)\} - a x - 2$ 有 $k$ 个不同的零点．
①若 $k = 2$ ，求 $a$ 的取值范围；
②若 $k = 3$ ，且 $α, β$ 是其中两个非零的零点，求 $\frac{1}{|α|} + \frac{1}{|β|}$ 的取值范围．

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12、如图，在三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A C = 2 A_{1} C_{1} = 4, B C = 2 \sqrt{2}, C C_{1} = 2 \sqrt{5}, A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C, A B ⊥ B C, D$ 为 $A B$ 的中点．

(1)、证明： $A_{1} B_{1} ⊥ D C_{1}$ ．

(2)、过 $A_{1}, D, C_{1}$ 的平面把三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 分成两部分，体积分别是 $V_{1}$ 和 $V_{2} (V_{1} < V_{2})$ ，求 $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ 的值．

(3)、求平面 $C C_{1} D$ 和平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成锐二面角的正切值．

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13、已知函数 $f (x) = sin 2 x - sin (2 x + \frac{π}{3})$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、已知锐角 $△ A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $b = 2, c = 3$ ，若 $f (A) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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14、若函数 $f (x) = x^{2} + a x + b (a > 1)$ 的值域为 $[0, + \infty)$ ，则 $\frac{a + b + 1}{a - 1}$ 的最小值为．

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15、设 $A, B$ 是一个随机试验中的两个事件，且 $P (A) = \frac{1}{2}, P (B) = \frac{2}{3}, P (A B) = \frac{1}{4}$ ，则 $P (A \cup \bar{B}) =$ ．

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16、在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直角 $△ A B C$ 中， $A D$ 为斜边 $B C$ 上的高， $A B = 3, A C = 4$ ，现将 $△ A B D$ 沿 $A D$ 翻折成 $△ A B^{'} D$ ，使得四面体 $A B^{'} C D$ 为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为

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17、已知一圆锥的母线长为2，底面半径为1，则该圆锥的侧面积为；体积为．

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18、我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数．此结论与必修一教材上的结论相吻合，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ 的图象关于点 $(1, 2)$ 成中心对称图形 B、若定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 对任意的 $x$ 都有 $f (x + 2) + f (- x) = 2$ ，则函数 $f (x)$ 图象的对称中心为 $(2, 2)$ C、若 $y = f (x + a)$ 是偶函数，则 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = a$ 成轴对称 D、若函数 $f (x)$ 满足 $y = f (x + 1) - 1$ 为奇函数，且其图象与函数 $g (x) = \frac{4}{2^{x} + 2}$ 的图象有2024个交点，记为 $A_{i} (x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \dots, 2024)$ ，则 $\sum_{i = 1}^{2024} (x_{i} + y_{i}) = 4048$

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19、已知平面向量 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且 $|\vec{e_{1}}| = |\vec{e_{2}}| = 1$ ，若 $\vec{a} = \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}, \vec{b} = \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ B、 $|\vec{a}| = \sqrt{3}$ C、 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}|$ D、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- \frac{1}{2} \vec{b}$

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20、已知复数 $z_{1}, z_{2}$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $z_{1}^{2} = {|z_{1}|}^{2}$ B、 $\bar{z_{1} + z_{2}} = \bar{z_{1}} + \bar{z_{2}}$ C、 $|z_{1} z_{2}| = |z_{1}| \cdot |z_{2}|$ D、 $|z_{1} + z_{2}| = |z_{1}| + |z_{2}|$

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年份	$2016$	2017	2019	$2020$
年份代号x	4	5	7	8
人均年纯收入y	2.1	m	n	5.9