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相关试卷

1、已知函数 $f (x)$ 的定义域为R，函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下列选项正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的单调递减区间是 $(- \infty, - 2)$ B、函数 $f (x)$ 的单调递增区间是 $(- \infty, - 2)$ ， $(0, + \infty)$ C、 $x = 2$ 处是函数 $f (x)$ 的极值点 D、 $x = - 1$ 时，函数的导函数小于0

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2、已知函数 $y = f (x)$ ，下列说法正确的是（）

A、 $Δ y = f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})$ 叫做函数值的增量 B、 $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{Δ x}$ 叫做函数在 $[x_{0}, x_{0} + Δ x]$ 上的平均变化率 C、 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处的导数记为 $y^{'}$ D、 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处的导数记为 $f^{'} (x_{0})$

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3、下列求导数运算正确的有（）

A、 $(\sin x)^{'} = \cos x$ B、 $(\frac{1}{x})^{'} = \frac{1}{x^{2}}$ C、 $(\log_{3} x)^{'} = \frac{1}{3 \ln x}$ D、 $(\ln x)^{'} = \frac{1}{x}$

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4、当 $x = 1$ 时，函数 $f (x) = a \ln x + \frac{b}{x}$ 取得最大值 $- 2$ ，则 $a =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 4$ C、2 D、4

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5、已知函数 $f (x)$ 的导数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f (x) = 2 x f^{'} (e) + \ln x$ ，则 $f (e) =$ （）

A、 $- \frac{1}{e}$ B、 $- 1$ C、1 D、 $e$

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6、曲线 $y = \ln x$ 在 $x = 1$ 处的切线的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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7、已知函数 $f (x) = x \cos x - \sin x$ ，则 $f^{'} (\frac{π}{2})$ 的值为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $- \frac{π}{2}$ C、 $- 1$ D、 $- π$

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8、设 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处可导，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0} - Δ x)}{2 Δ x} =$ （）．

A、 $2 f^{'} (x_{0})$ B、 $\frac{1}{2} f^{'} (x_{0})$ C、 $f^{'} (x_{0})$ D、 $4 f^{'} (x_{0})$

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9、已知某质点运动的方程是 $s = 2 + \frac{1}{t}$ ，当t由1变到2时，其路程的增量 $Δ s$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、1 D、 $- 1$

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10、将连续正整数 $1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, n$ （ $n \in N^{*}$ ）从小到大排列构成一个数 $123 \cdot \cdot \cdot n$ ， $F (n)$ 为这个数的位数．例如：当 $n = 12$ 时，此数为123456789101112，共有15个数字，则 $F (12) = 15$ ．现从这个数中随机取一个数字， $P (n)$ 为恰好取到0的概率．

(1)、求 $P (101)$ ；

(2)、当 $n \leq 2024$ 时，求 $F (n)$ 的表达式；

(3)、令 $f (n)$ 为这个数中数字9的个数， $g (n)$ 为这个数中数字0的个数， $h (n) = f (n) - g (n)$ ， $S = \{n |h (n) = 1, n \leq 100, n \in N^{*}\}$ ，求当 $n \in S$ 时 $P (n)$ 的最大值．

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11、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $M$ 为 $A P$ 边上的中点， $N$ 为 $C P$ 边上的中点，平面 $P B C ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ P B C = 90 °$ ， $A D / / B C$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $2 A B = 2 A D = \sqrt{2} C D = B C = 2$ .

(1)、求证： $M N / /$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求证： $C D ⊥ P D$ ；

(3)、若直线 $P D$ 与底面 $A B C D$ 所成角的余弦值为 $\frac{1}{3}$ ，求二面角 $B - P C - D$ 的正切值.

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12、 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $b \cos C + \sqrt{3} b \sin C - a - c = 0$ ．

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $C = \frac{π}{4}$ 且 $△ A B C$ 的面积为 $3 + \sqrt{3}$ ，求边长 $c$ ．

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13、某高校承办了某大型运动会志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组 $[45, 55)$ ，第二组 $[55, 65)$ ，第三组 $[65, 75)$ ，第四组 $[75, 85)$ ，第五组 $[85, 95]$ ，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．

(1)、估计这100名候选者面试成绩的众数；

(2)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(3)、估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数．

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14、已知复数 $z = \frac{m^{2} - m - 6}{m + 3} + (m^{2} - 2 m - 15) i$ ，求当实数 $m$ 为何值时；

(1)、 $z$ 为实数；

(2)、 $z$ 为纯虚数；

(3)、 $z$ 为虚数．

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15、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且点 $E$ 满足 $P E = \frac{1}{3} P C$ ，已知 $A B = 2$ ， $A D = 2 \sqrt{2}$ ， $P A = 2$ ，则 $P$ 到平面 $A B E$ 的距离为．

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16、在三角形 $A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $B = \frac{π}{3}$ ， $b = \sqrt{21}$ ， $a = 4$ ，则 $c =$ ．

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17、复数 $z = 3 - 4 i$ ，则 $\frac{z}{2 + i}$ 的虚部为．

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18、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $\vec{m} = (1, - 3)$ ， $\vec{n} = (a + b + c, a - b + c)$ 且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a + c = 2 b$ B、角 $B$ 的最大值为 $\frac{π}{3}$ C、 $A : C = 1 : 2$ D、若 $a \sin A = 4 c \sin C$ ，则 $\cos A = - \frac{1}{4}$

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19、甲、乙两名同学近五次数学测试成绩数据分别为：
甲68   71   72   72   82
乙66   70   72   78   79
则（       ）

A、甲组数据的极差大于乙组数据的极差 B、甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数 C、甲组数据的方差小于乙组数据的方差 D、甲乙两组数据混合后的方差大于乙组数据的方差

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20、抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件： $E =$ “点数为奇数”， $F =$ “点数为偶数”， $G =$ “点数大于2”， $H =$ “点数不大于2”， $R =$ “点数为1”．则下列结论正确的是（）

A、 $E$ ， $F$ 为对立事件 B、 $G$ ， $H$ 为互斥不对立事件 C、 $E$ ， $G$ 不是互斥事件 D、 $G$ ， $R$ 是互斥事件

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