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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{n + 1} \cdot a_{n} = 2^{n} (n \in N^{*})$ ，则 $S_{2024}$ 等于（）

A、 $2^{2024} - 1$ B、 $3 \times 2^{1012} - 1$ C、 $3 \times 2^{1012} - 2$ D、 $3 \times 2^{1012} - 3$

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2、设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{2}$ 的直线交椭圆于A，B两点，且 $\vec{A F_{1}} \cdot \vec{A F_{2}} = 0$ ， $\vec{A B} = 4 \vec{F_{2} B}$ ，则椭圆E的离心率为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$

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3、如图，已知 $A (1, 0)$ ， $B (0, 1)$ ，点C在函数 $y = a^{x}$ 的图象上，点D在函数 $y = \log_{a} x$ 的图象上，若四边形 $A B C D$ 为正方形，则 $a =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、3 D、4

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4、“ $x^{2} \leq x$ ”是“ $\frac{1}{x} \geq 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5、设集合 $A = \{0, 1, 2, 3\}$ ， $B = \{x \in N| x^{2} - 5 x + 4 \geq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\{1, 2, 3\}$

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6、设函数 $f (x) = a^{|x|} + \frac{2}{a^{x}}$ （其中常数 $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）.

(1)、若常数 $m > 3$ ，当 $a = 10$ 时，解关于x的方程 $f (x) = m$ ；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, 2]$ 上存在最小值，且最小值是一个与a无关的常数，求实数a的取值范围.

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7、对于定义域为 $I$ 的函数 $f (x)$ ，如果存在区间 $[m, n] \subseteq I$ ，使得 $f (x)$ 在区间 $[m, n]$ 上是单调函数，且函数 $y = f (x)$ ， $x \in [m, n]$ 的值域是 $[m, n]$ ，则称区间 $[m, n]$ 是函数 $f (x)$ 的一个“优美区间”.

(1)、判断函数 $y = x^{2} + 2 x (x \in R)$ 和函数 $y = 1 - \frac{2}{x} (x > 0)$ 是否存在“优美区间”?如果存在，写出一个符合条件的“优美区间”.（直接写出结论，不要求证明）

(2)、如果 $[m, n]$ 是函数 $f (x) = \frac{(a + 1) x - \frac{1}{a}}{a x} (a \neq 0)$ 的一个“优美区间”，求 $n - m$ 的最大值.

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8、第19届亚运会2023年9月在杭州市举办，本届亚运会以“绿色、智能、节俭、文明”为办会理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展.等备期间，计划向某河道投放水质净化剂，已知每投放a个单位（ $0 < a \leq 4$ 且 $a \in R$ ）的试剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为 $y = a f (x)$ ，其中 $f (x) = \{\begin{array}{l} \frac{1 + x}{7 - x}, x \in [0, 5] \\ \frac{11 - x}{2}, x \in (5, 11] \end{array}$ ，若多次投放，则某一时刻水中的试剂浓度为每次投放的试剂在相应时刻所释放的浓度之和，根据试验，当水中净化剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能净化有效.

(1)、若只投放一次4个单位的净化剂，则有效时间最多能持续几天？

(2)、若先投放2个单位的净化剂，6天后再投放m个单位的净化剂，要使接下来的5天中，净化剂能够持续有效，试求m的最小值.

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9、已知函数 $f (x) = \ln (1 + x) - \ln (1 - x)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、判断证明函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(3)、解不等式： $f (2 x - 1) + \ln 3 > 0$ .

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10、设集合 $A = \{x ∣ x^{2} - 3 x + 2 = 0\}$ ，集合 $B = \{x ∣ x^{2} + (a - 1) x + a^{2} - 5 = 0\}$ ．

(1)、若 $A \cap B = \{2\}$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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11、（1） ${(5 \frac{4}{9})}^{0.5} + {(0.1)}^{- 2} + {(2 \frac{10}{27})}^{\frac{2}{3}} - 100 π^{0}$ ；
（2）已知 $x + y = 11$ ， $x y = 9$ ，求 $\frac{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + y^{2}}$ 的值.

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12、已知函数 $f (x) = {(x - 1)}^{3} + 1$ ，且 $f (2 a) + f (b) = 2 (a > - 1, b > 0)$ ，则 $\frac{1}{a + 1} + \frac{2}{b}$ 的最小值是.

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13、若函数 $f (x)$ 是幂函数，且满足 $f (8) \cdot f (\frac{1}{2}) = 16$ ，则 $f (4)$ 的值为.

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14、定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) + f (- x - 2) = 0, f (1 + x)$ 为偶函数，则（）

A、 $f (- 1 - x) + f (- 1 + x) = 0$ B、 $f (1 - x) = f (1 + x)$ C、 $f (x - 4) = f (x)$ D、 $f (2023) = 0$

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15、设函数 $y = f (x)$ 的定义域是 $A$ ，值域是 $C$ .我们从 $y = f (x)$ 中解出 $x$ 得到式子 $x = ϕ (y)$ .如果对于 $y$ 在 $C$ 中的任何一个值，通过式子 $x = ϕ (y)$ ， $x$ 在 $A$ 中都有唯一的值和它对应，那么式子 $x = ϕ (y)$ 叫函数 $y = f (x)$ 的反函数，记作 $x = f^{- 1} (y)$ ，习惯表示为 $y = f^{- 1} (x)$ .已知函数 $f (x) = 2^{x}$ ，其反函数 $f^{- 1} (x)$ 满足 $f^{- 1} (4) = a$ .定义在 $R$ 上的奇函数 $g (x)$ 满足：当 $x \in (0, + \infty)$ 时， $g (x) = f (3 - x - x^{2}) - a$ ，则（）

A、 $a = 2$ B、当 $x \in (- \infty, 0)$ 时， $g (x) = 2 - 2^{x^{2} + x + 3}$ C、若 $x g (x) < 0$ ，则 $x \in (- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ D、函数 $g (x)$ 在 $(- \infty, 0)$ 上单调递增

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16、已知 $a^{x} = b^{- x}$ ，函数 $y = \log_{a} (- x)$ 与 $y = b^{x}$ 的图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

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17、下列式子中变形正确的是（）

A、 $3 x - 1 = 2 x - 1$ ，则 $x = 0$ B、若 $a c = b c$ ，则 $a = b$ C、若 $\frac{c}{a b} = \frac{d}{a f}$ ，则 $\frac{c}{b} = \frac{d}{f}$ D、若 $\frac{y}{5} = \frac{x}{5}$ ，则 $y = x$

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18、已知函数 $f (x) = 2^{x} + 2^{- x}$ ， $g (x) = m \cdot f (2 x) + 2 f (x) + m$ ，若对于 $\forall x_{1} \in [0, + \infty)$ ， $\exists x_{2} \in [0, 1]$ ，使得 $f (x_{1}) + g (x_{2}) > 7$ 成立，则实数m的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{3}, + \infty)$ B、 $(- \infty, \frac{1}{3})$ C、 $(- \infty, 0)$ D、 $(0, + \infty)$

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19、已知 $m = 4^{\log_{6} m} - 9^{\log_{6} m}$ ， $n = 9^{\log_{4} n} + 6^{\log_{4} n}$ ，则 $\frac{m}{n}$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ C、 $\frac{- \sqrt{5} + 1}{2}$ D、 $\frac{- \sqrt{5} - 1}{2}$

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20、已知函数 $f (x) = \ln (x + a) (a \in R)$ 的图象过点 $(1, 0)$ ，若函数 $y = f (x^{2} - 2 k x + 5)$ 区间 $[1, 2]$ 上单调递减，则实数k的取值范围是（）

A、 $[2, \frac{9}{4})$ B、 $[1, \frac{9}{8})$ C、 $(1, \frac{9}{8}]$ D、 $(2, \frac{9}{4}]$

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