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相关试卷

1、已知等比数列{a_n}的公比为q，前n项和为 $S_{n} ， a_{3} = 4 ，$ 则下列结论中一定正确的是（）

A、若 $a_{6} = - 32 ，$ 则 $q = \pm 2$ B、 $a_{2} a_{6} a_{7} = a_{5}^{3}$ C、若 $a_{6} = \frac{1}{2} ，$ 则 $a_{1} a_{2} a_{3} \cdot \dots \cdot a_{n}$ 的最大值为1024 D、 $S_{2}, S_{4} - S_{2}, S_{6} - S_{4}$ 构成等比数列

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2、已知O为坐标原点，椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，过点 $F_{1}$ 的直线 $\sqrt{3} x + 3 y + 1 = 0$ 与C的一个交点P位于第四象限，若 $△ O P F_{1}$ 为等腰三角形，则C的离心率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3} - 1$ D、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

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3、某人工智能团队在训练深度学习模型时，采用分阶段学习率衰减策略.第一阶段使用对数衰减，初始学习率为 $0.1$ ，学习率 $η$ 随迭代次数 $n (n \in N^{*})$ 的变化公式为 $η = 0.1 - 0.01 \ln (n + 1)$ .当学习率小于等于 $0.05$ 时，切换至第二阶段，第二阶段使用指数衰减策略，学习率公式为 $η = 0.05 e^{- 0.01 (n - n_{1})}$ ，其中 $n_{1}$ 为第一阶段结束时的迭代次数， $n$ 为总迭代次数.当学习率小于等于 $0.01$ 时，模型停止训练.则该模型需要训练的总迭代次数为（结果保留整数.参考数据：（ $e^{5} \approx 148.413$ ， $\ln 5 \approx 1.609$ ）（）

A、307 B、308 C、309 D、310

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4、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a = \sqrt{2} ， b = \sqrt{6} ， cos C = c sin A ，$ 则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $1$

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5、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，若 $g (x) = f (x) - f (- x)$ ，则 $g (x)$ 的解析式不可能是（）

A、 $g (x) = 2 x$ B、 $g (x) = - x^{3}$ C、 $g (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ D、 $g (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$

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6、一名职业篮球运动员在某 $8$ 场比赛中，三分球命中率分别为 $0.34$ ， $0.27$ ， $0.36$ ， $0.42$ ， $0.23$ ， $0.39$ ， $0.43$ ， $0.38$ ，若这组数据的 $60 %$ 分位数为 $p$ ，且随机变量 $ξ \sim B (20, p)$ ，则 $E (ξ) =$ （）

A、7.6 B、7.4 C、7.2 D、7

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7、某市为弘扬科学精神，激励青少年投身科技事业，特别策划了一场“致敬科技先锋”的主题活动.活动期间，需将A，B，C，D，E五位功勋人物的画像自左至右排成一行展示，且要求A与B的画像不相邻，E的画像只能排在两端，则满足条件的排法种数为（）

A、16 B、20 C、24 D、26

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8、已知向量 $\vec{a} = (m, 2), \vec{b} = (1, m - 1)$ ，若 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) / / (3 \vec{a} - 4 \vec{b})$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、2 C、1或 $- 2$ D、2或 $- 1$

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9、已知集合 $M = {0, 1, 2, 4, 5, 7}, N = {- 1, 0, 1, 3, 4, 6}$ ，则 $M \cap N$ 的真子集的个数为（）

A、3 B、4 C、7 D、8

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10、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{2} = 4$ ， $S_{4} = 16$ ；数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $2^{n} b_{1} + 2^{n - 1} b_{2} + \cdot \cdot \cdot + 2 b_{n} = (n + 1) 2^{n + 1} - 2$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ；

(3)、将数列 $\{{(- 1)}^{n} a_{n}\}$ 和数列 $\{b_{n}\}$ 各取前 $100$ 项，按从小到大排成一个新的数列 $\{d_{n}\}$ ，其中重复的数按照出现的个数重复排列，求 $\{d_{n}\}$ 的前 $106$ 项和

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11、已知函数 $f (x) = 2 x - e^{2 x} - 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、证明：对任意的 $x \in [0, + \infty), f (\frac{x}{2}) < - \frac{1}{2} x^{2} - sin x$ ；

(3)、若函数 $g (x) = f (x) + 4 a e^{x} (a \in R)$ 有且仅有一个零点，证明：方程 $4 x^{2} + 8 a x + 3 a = 0$ 无实数根.

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12、人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型 $A, B, C$ .每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立.只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.已知 $A, B, C$ 三款模型通过算法设计评审的概率依次为 $\frac{3}{4}, \frac{2}{3}, \frac{4}{5}$ ，通过工程部署验收的概率依次为 $\frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{3}{5}$ .

(1)、求 $A, B, C$ 三款中恰有两款通过算法设计评审的概率；

(2)、若已知 $A, B, C$ 三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为 $A$ 的概率；

(3)、经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后， $A, B, C$ 三款模型能成功上线的数量为随机变量 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望 $E (X)$ .

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13、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D, A D$ $/ /$ $B C, P A = 2, A B = 1$ ， $B C = 1, A D = 2, M$ 是 $P D$ 的中点.

(1)、求证： $C M$ $/ /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $A B ⊥ A D$ .
①求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 夹角的正弦值；
②在线段 $B D$ 上是否存在点 $Q$ ，使得点 $D$ 到平面 $P A Q$ 的距离为1？若存在，求出 $\frac{B Q}{B D}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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14、已知点 $M (\sin x \cos x, \sin^{2} x)$ ， $N (2, 2 \sqrt{3})$ ， $O$ 为坐标原点，函数 $f (x) = \vec{O M} \cdot \vec{O N}$

(1)、求 $f (x)$ 的解析式及最小正周期

(2)、三角形 $A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $A D$ 为 $∠ B A C$ 的角平分线， $A B = 2 A C$ ， $B D = 2$ .若 $f (A) = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A C D$ 的面积

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15、已知函数 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = \ln x$ ，若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{1}, f (x_{1}))$ 处的切线与曲线 $y = g (x)$ 在 $(x_{2}, g (x_{2}))$ 点处的切线平行，则 $2 x_{1} + g (x_{2}^{2}) =$ 若 $a > 0$ ， $a x^{a - 1} g (x) \leq f (x)$ 对于任意 $x > 1$ 都成立，则 $a$ 的最大值为 .

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16、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点为 $F$ ，过原点 $O$ 的直线与双曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点（点 $A$ 位于第二象限）， $M$ 为 $B F$ 的中点，直线 $O M$ 为双曲线 $C$ 的一条渐近线，且 $|B F| = 4 |A F|$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为.

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17、已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，侧棱长为 $\sqrt{5}$ ，则其体积为.

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18、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1$ ，点 $M$ 为 $C C_{1}$ 的中点，点 $P$ 为底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的边界及其内部任意一点，则下列选项正确的是（）

A、点 $P$ 为 $B_{1} D_{1}$ 中点时， $M P ⊥$ 平面 $A B_{1} D_{1}$ B、点 $P$ 为 $C_{1} D_{1}$ 中点时，过 $B, M, P$ 三点作正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的截面，则截面周长为 $2 \sqrt{5} + \frac{3}{2} \sqrt{2}$ C、 $A C$ 与 $B D$ 交于 $O$ ，则四面体 $O - B_{1} C_{1} C$ 的外接球的表面积为 $2 π$ D、当 $P$ 在线段 $A_{1} C_{1}$ 上运动时，四面体 $P - B D M$ 体积的最大值为 $\frac{1}{4}$

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19、已知抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F, A, B$ 是抛物线上两动点，下列说法正确的有（）

A、抛物线的焦点坐标为 $F (0, - 1)$ B、若 $|A F| + |B F| = 8$ ，则线段 $A B$ 的中点到 $x$ 轴的距离为6 C、以线段 $A F$ 为直径的圆与 $x$ 轴相切 D、以点 $A$ 为圆心，线段 $A F$ 的长为半径的圆与准线相切

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20、下列说法中正确的有（）

A、若样本数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的方差 $s^{2} = 0$ ，则所有的 $x_{i} (i = 1, 2, 3, \dots, n)$ 都相等 B、在做回归分析时，残差图中残差点均匀分布在横轴两侧，且分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好 C、以模型 $y = c e^{k x}$ 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 $z = ln y$ ，求得线性回归方程为 $\hat{z} = 0.3 x + 4$ ，则 $c, k$ 的值分别是 $4$ 和 $0.3$ D、样本数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的平均数 $\bar{x} = 4$ ，则样本数据 $2 - 3 x_{1}, 2 - 3 x_{2}, \dots, 2 - 3 x_{n}$ 的平均数为 $- 10$

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