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相关试卷

1、如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M为PC的中点．
（1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值；
（2）点N在线段AD上，且AN＝λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为 $\frac{4}{5}$ ，求λ的值．

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2、为进一步推进农村经济结构调整，某村推出乡村文化旅游项目，在水果成熟之际举办“水果观光采摘节”活动.现统计了4月份200名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、试估计消费金额的84%分位数.

(2)、若将消费金额不低于80元的游客称为“水果达人”，现用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，再从5人中抽取2人作为幸运客户免费参加乡村旅游项目，求2人中至少有1人消费金额不低于100元的概率.

(3)、为吸引顾客，该村特推出两种促销方案.
方案一：每满80元可减8元；
方案二：金额超过50元但又不超过80元的部分打9折，金额超过80元但又不超过100元的部分打8折，金额超过100元的部分打7折.
若水果的价格为11元/千克，某游客要购买10千克水果，应该选择哪种方案更优惠.

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3、已知直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的各棱长均为2， $∠ A B C = 120^{\circ}$ ，设棱 $A_{1} D_{1}$ ， $B C$ 的中点分别为 $M$ ， $N$ ，若底面 $A B C D$ 内一动点 $P$ 满足 $\vec{P M} \cdot \vec{P N} = 0$ ，则 $P$ 的运动轨迹长度为.

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4、已知某中学老年教师的“亚健康”率为50％，中年教师的“亚健康”率为30％，青年教师的“亚健康”率为15％．若该中学共有60名老年教师，100名中年教师，200名青年教师，则该校教师的“亚健康"率为．

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5、如图，棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $A A_{1}$ 的中点，点 $F$ 满足 $\vec{A_{1} F} = λ \vec{A_{1} B_{1}}$ ， $λ \in [0, 1]$ ，则（）

A、当 $λ = 0$ 时， $A C_{1} ⊥$ 平面 $B D F$ B、对于任意 $λ \in [0, 1]$ ，三棱锥 $F - B D E$ 的体积是定值 C、存在 $λ \in [0, 1]$ ，使得 $A C$ 与平面 $B D F$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ D、 $\vec{F D} \cdot \vec{F B}$ 的取值范围为 $[3, 4]$

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6、下列说法正确的是（）

A、任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 B、直线 $2 x - y - 3 = 0$ 在 $y$ 轴上的截距是 $- 3$ C、直线 $x - y - 2 = 0$ 与两坐标轴围成的三角形的面积是 $3$ D、点 $(0, 2)$ 关于点 $(1, 3)$ 的对称点为 $(2, 4)$

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7、已知点F为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的右焦点，点P是椭圆C上的动点，点Q是圆 $M : {(x + 3)}^{2} + y^{2} = 1$ 上的动点，则 $\frac{| P F |}{| P Q |}$ 的最小值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{8}{3}$

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8、已知 $A$ 与 $B$ 是相互独立的随机事件，且 $P (A) = \frac{4}{5}$ ， $P (B) = \frac{1}{2}$ ，则 $P (A \cup B) =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{7}{10}$ D、 $\frac{9}{10}$

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9、设 $F_{1} (- 5, 0)$ ， $F_{2} (5, 0)$ 为平面上两个定点，动点 $P (x, y)$ 满足 $||P F_{1}| - |P F_{2}|| = 10$ ，则动点P的轨迹为（）

A、直线 B、两条射线 C、椭圆 D、双曲线

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10、复数 $z$ 满足 $z (1 - i) = 2 i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $i$ D、 $- i$

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11、抛物线 $y = 2 x^{2}$ 的准线方程是（）

A、 $x = \frac{1}{2}$ B、 $x = - \frac{1}{2}$ C、 $y = \frac{1}{8}$ D、 $y = - \frac{1}{8}$

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12、已知函数 $f (x) = x - 4 \sqrt{x} + a l n x ，$ 其中 $a \in R$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $y = k x - 1$ ，求 $a$ 的值；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的极值点个数；

(3)、若 $g (x) = e^{f (x)} - \sqrt{x}$ 有且仅有 $1$ 个零点，求 $a$ 的取值范围.

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13、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 4, B C = 2 \sqrt{3}, ∠ A B C = \frac{π}{6}, A A_{1} = 3.$ 若M，N分别为棱 $A C$ ， $B B_{1}$ 上的动点，且 $M N = 2 \sqrt{5}$ ，点N在平面 $A_{1} A C C_{1}$ 上的射影为点P，线段 $M P$ 的中点为Q.

(1)、求证：平面 $B C C_{1} B_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} A C C_{1}$ ；

(2)、求点Q的轨迹长度；

(3)、求直线 $A B$ 与平面 $M N P$ 所成角的正弦值的取值范围.

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14、某市为推广新能源汽车，对购买不同品牌新能源汽车的消费者实施差异化补贴政策.根据市场调研，品牌A和品牌B在该市新能源汽车市场中占据主导地位，购买品牌A，B的新能源汽车均有补贴.假设该市选择品牌A的消费者占60%，选择品牌B的消费者占40%.通过研究发现选择品牌A的消费者中，80%因补贴而购车；选择品牌B的消费者中，60%因补贴而购车.

(1)、从该市随机选取一位购买新能源汽车的消费者，求其因补贴而购车的概率.

(2)、已知某位消费者因补贴而购车，求其购买的车是品牌A的概率.

(3)、该市通过对购买新能源汽车的消费者进行二次调研发现，若消费者因补贴购买品牌A的新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.6；若消费者因补贴购买品牌B的新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.4；若消费者不是因补贴购车，无论购买哪个品牌，推荐他人购买新能源汽车的概率均为0.2.现随机选取一位购买新能源汽车的消费者，求该消费者推荐他人购买新能源汽车的概率.

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15、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 过点 $(- \sqrt{2}, 2) ，$ 且离心率为 $\sqrt{5}$ .

(1)、求双曲线C的方程.

(2)、在双曲线 $C$ 上是否存在点 $P$ ，使得点 $P$ 到 $C$ 的两条渐近线的距离之和等于 $\frac{\sqrt{5}}{2} ?$ 若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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16、已知各项均不为0的数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1 ， \frac{1}{a_{n}} - \frac{1}{a_{n + 1}} = \frac{2}{4 S_{n} - 1} .$ 若对任意的 $n \in N^{*}$ ， $λ e^{a_{n}} \geq S_{n}^{2}$ 恒成立，则实数 $λ$ 的取值范围是.

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17、已知O是坐标原点，等腰三角形AOB的顶点A，B在抛物线C $: y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上，且 $∠ A O B = 120 °$ ，若C的焦点F到直线AB的距离为 $\frac{1}{2}$ ，则 $|A B| =$ .

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18、若 $2 z - \bar{z} = 4 - 6 i$ ， $| z | =$ ．

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19、如图1，在直角梯形 $A_{1} A_{2} A_{3} D$ 中， $A_{1} D // A_{2} A_{3}, A_{1} A_{2} ⊥ A_{1} D, A_{1} D = 5, A_{1} A_{2} = 4$ ， B，C分别为 $A_{1} A_{2}, A_{2} A_{3}$ 的中点，现把 $△ A_{1} B D$ ， $△ A_{2} B C$ ， $△ A_{3} C D$ 分别沿 $B D, B C, C D$ 折起，使得点 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 重合为一点A，得到如图2所示的四面体 $A B C D$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $A B ⊥ C D$ B、四面体 $A B C D$ 的体积为 $\frac{32}{3}$ C、点A到底面 $B C D$ 的距离为 $\frac{16}{9}$ D、二面角 $A - B C - D$ 的余弦值为 $\frac{4 \sqrt{5}}{9}$

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20、已知实数x，θ满足 $x + \frac{1}{x} = 2 cos θ ，$ 则下列结论中正确的是（）

A、 $x \cos θ = - 1$ B、 $x - \frac{1}{x} = 2 sin θ$ C、 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 2 cos 2 θ$ D、 $x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = 2 cos 3 θ$

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