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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{a}{b} = \frac{b + c}{a} = \frac{\sqrt{3} \sin A}{\cos B}$ .

(1)、求 $C$ .

(2)、若 $b = 1$ ，点 $M, N$ 是边 $A B$ 上的两个动点，当 $∠ M C N = \frac{π}{3}$ 时，求 $△ M C N$ 面积的取值范围.

(3)、若点 $M, N$ 是直线 $A B$ 上的两个动点，记 $∠ M C N = θ (0 < θ \leq \frac{π}{2}), ∠ C M N = α, ∠ C N M = β$ .若 $\cos β (\sin^{2} α + \cos α) + \sin α \sin β (\cos α - 1) = \sin α$ 恒成立，求 $θ$ 的值.

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2、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ， $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = \frac{π}{3}$ 且 $(\vec{c} - \vec{a}) \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = 0$ ，则 $\vec{b} \cdot \vec{c}$ 的最大值为.

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3、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $M (2, 1)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .不过原点的直线 $l : y = k x + m$ 交椭圆 $C$ 于 $A, B$ 两点，记直线 $M A$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $M B$ 的斜率为 $k_{2}$ ，且 $k_{1} k_{2} = \frac{1}{4}$ .

(1)、证明：直线 $l$ 的斜率 $k$ 为定值；

(2)、求 $△ M A B$ 面积的最大值.

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4、已知x为正实数， $f (x) = {(\sqrt{x} - \frac{2}{x^{2}})}^{n}$ 展开式的二项式系数和为256．

(1)、求展开式中二项式系数最大的项；

(2)、求展开式中含 $x^{\frac{3}{2}}$ 的项；

(3)、若第k项是有理项，求k的取值集合．

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $2 a_{n + 1} - a_{n} = \frac{1}{2^{n}}$ 且 $a_{1} = \frac{1}{2}$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式.

(2)、设 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数.
①求 $S_{n}$ ；
②证明：当 $n \geq 2$ 时， $[S_{n}]$ 为定值.

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6、2022年10月梦天实验舱发射，标志着中国空间站三舱“T”字的基本构型完成.除了梦天实验舱外，中国空间站的基本构型还包括天和核心舱和问天实验舱．假设要安排3名中国航天员和2名国际航天员前往中国空间站开展实验，每个舱段必须安排至少一人，天和核心舱需要安排3人，且两名国际航天员不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有种．

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7、已知复数 $z_{1}, z_{2}$ 满足 $|z_{1} - 4 i| = |z_{1} - 5 i|$ ， $|z_{2} - 1 + 2 i| = 2$ （ $i$ 为虚数单位）， $x_{1}, x_{2}$ 是方程 $2 x^{2} + 3 a x + a^{2} - a = 0$ $(a \in R)$ 在复数范围内的两根，则下列结论正确的是（）

A、 $|z_{2} - {\bar{z}}_{1}|$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ B、 $|z_{2} - z_{1}|$ 的最小值为4 C、当 $0 < a < 1$ 时，则 $|x_{1}| + |x_{2}| = \frac{\sqrt{a^{2} + 8 a}}{2}$ D、当 $- 8 < a < 0$ 时，则 $|x_{1}| + |x_{2}| = \sqrt{2 (a^{2} - a)}$

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8、已知 $a = \ln (sin 1.02)$ ， $b = \frac{\sqrt{1.02}}{51}$ ， $c = \ln 1.02$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $a < c < b$ D、 $b < a < c$

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9、若函数 $f (x) = a x^{2} - e^{2 x}$ 在区间 $(- 2, - 1)$ 上单调递减，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[2 e, + \infty)$ B、 $[- \frac{1}{2 e^{4}}, + \infty)$ C、 $(- \infty, - \frac{1}{e^{2}}]$ D、 $[- \frac{1}{e^{2}}, 0]$

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10、四棱锥至多有几个面是直角三角形？（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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11、已知直线 $k x + y + 2 k = 0$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 相切，则 $k$ 的值为（）

A、 $2$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\pm 2$ D、 $\pm \frac{1}{2}$

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12、5名同学站成一排拍照，甲、乙要求站在一起，丙不站在两端，则不同的安排方法数有（）

A、24 B、12 C、48 D、36

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13、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{3} + a_{6} = 16$ ，且 $a_{5} - a_{3} = 4$ ，则首项 $a_{1} =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、3

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14、已知函数 $f (x) = sin 3 (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ．则 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{12}, \frac{π}{6}]$ 的最小值是（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、0 D、 $\frac{3}{2}$

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15、二次函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) - f (x) = 2 x - 1$ ，且 $f (0) = 2$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $x \in [- 1, 2]$ 时， $y = f (x)$ 的图象恒在 $y = - x + a$ 图象的上方，试确定实数 $a$ 的取值范围.

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16、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} \log_{\frac{1}{2}} (1 - x), - 1 \leq x \leq n \\ 2^{2 - |x - 1|} - 3, n < x \leq m \end{cases}$ 的值域是 $[- 1, 1]$ ，若 $n \in [0, \frac{1}{2})$ ，则m的取值范围是．

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17、已知 $1 \leq a + b \leq 4$ ， $- 1 \leq a - b \leq 2$ ，则 $4 a - 2 b$ 的取值范围为.

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18、下列定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 中，满足 $\forall x \in (0, + \infty), f (x) + f (\frac{1}{x}) \geq 2 f (1)$ 的有（）

A、 $f (x) = \sqrt{x}$ B、 $f (x) = \frac{x}{1 + x^{2}}$ C、 $f (x) = \cos π x$ D、 $f (x) = e^{x}$

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19、如图，在多面体ABCDE中，平面 $A B E ⊥$ 平面ABC，四边形BCDE为等腰梯形， $B C = 2 D E$ ， $A B ⊥ A C$ ， $E A = E B$ .

(1)、证明： $A B = A C$ .

(2)、若直线BE与平面ABC所成的角为 $45^{\circ}$ ，求二面角 $A - B E - C$ 的正弦值.

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20、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，椭圆C的离心率为 $\sqrt{3} - 1$ ， P是C在第一象限上的一点.若 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，则 $\cos ∠ P F_{2} F_{1} =$ .

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