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相关试卷

1、已知 $α$ ， $β$ 是两个平面， $m, n$ 是两条直线，则下列命题为真命题的是（）

A、若 $α ⊥ β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m ⊥ n$ B、若 $α // β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m // n$ C、若 $α ⊥ β$ ， $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ D、若 $α ⊥ β$ ， $m ⊥ α$ ，则 $m // β$

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2、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2$ ， $\vec{b} = (1, 2 \sqrt{2})$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \sqrt{3}$ ，则 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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3、已知 $\sin α = \frac{4}{5}$ ， $0 < α < \frac{π}{2}$ ，则 $\tan (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $- \frac{1}{7}$ C、7 D、 $- 7$

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4、样本数据12，12，13，17，19，23，30，34，40，64的 $75 %$ 分位数是（）

A、12 B、13 C、30 D、34

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5、已知点 $(2, 3)$ 在双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{a^{2} + 2} = 1$ 上．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、设点 $Q$ 为双曲线右支上除右顶点外的任意点，证明：点 $Q$ 到 $C$ 的两条渐近线的距离之积为定值；

(3)、过点 $P (\frac{1}{2}, 1)$ 作斜率为 $k$ 的动直线 $l$ 与双曲线右支交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点 $H$ ，满足 $\frac{|P M|}{|P N|} = \frac{|M H|}{|H N|}$ ．
（ⅰ）求斜率 $k$ 的取值范围；
（ⅱ）证明：点 $H$ 恒在一条定直线上．

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6、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $A B = \sqrt{3} A C = 3$ ， $A D = 2 D B$ ， $O$ 为 $B C$ 的中点， $A_{1} O ⊥$ 平面 $A B C$ .

(1)、求证： $A A_{1} ⊥ O D$ ；

(2)、若 $A A_{1} = 2 \sqrt{3}$ ，求平面 $B A A_{1}$ 和平面 $A A_{1} O$ 夹角的余弦值.

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7、已知函数 $f (x) = e^{x} - x^{2} + a, x \in R$ ，曲线 $y = f (x)$ 在 $(0, f (0))$ 处的切线方程为 $y = b x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $x \in R$ 时，求证： $f (x) \geq - x^{2} + x$ ；

(3)、若 $f (x) \geq k x$ 对任意的 $x \in (0, + \infty)$ 恒成立，求实数k的取值范围.

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8、某校高三年级有 $n (n > 2, n \in N^{*})$ 个班，每个班均有 $(n + 30)$ 人，第 $k$ （ $k = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, n$ ）个班中有 $(k + 10)$ 个女生，余下的为男生.在这n个班中任取一个班，再从该班中依次取出三人，若第三次取出的人恰为男生的概率是 $\frac{8}{13}$ ，则 $n =$ .

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9、等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} + a_{4} + a_{8} + a_{12} + a_{15} = 20$ ，则 $S_{15} =$ ．

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10、费马原理是几何光学中的一条重要原理，可以推导出双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是以 $y = \pm \frac{3}{4} x$ 为渐近线且过点 $A (4 \sqrt{2}, 3)$ 的双曲线C的左、右焦点，在双曲线C右支上一点 $P (x_{0}, y_{0}) (x_{0} > 4, y_{0} > 0)$ 处的切线l交x轴于点Q，则（）

A、双曲线C的离心率为 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ B、双曲线C的方程为 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ C、过点 $F_{1}$ 作 $F_{1} K ⊥ P Q$ ，垂足为K，则 $|O K| = 8$ D、点Q的坐标为 $(\frac{16}{x_{0}}, 0)$

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11、下列说法中，正确的是（）

A、设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (0, 1)$ ，若 $P (X \geq 1) = p$ ，则 $P (- 1 < X < 0) = 1 - 2 p$ B、某人在10次答题中，答对题数为 $X$ ， $X \sim B (10, 0.7)$ ，则答对7题的概率最大 C、基于小概率值 $α$ 的检验规则是：当 $χ^{2} \geq x_{α}$ 时，我们就推断 $H_{0}$ 不成立，即认为 $X$ 和 $Y$ 不独立，该推断犯错误的概率不超过 $α$ ；当 $χ^{2} < x_{α}$ 时，我们没有充分证据推断 $H_{0}$ 不成立，可以认为 $X$ 和 $Y$ 独立 D、将4名老师分派到两个学校支教，每个学校至少派1人，则共有14种不同的分派方法

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12、已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的定义域均为 $R$ ， $f (x + 1)$ 为奇函数， $g (x - 2)$ 为偶函数， $f (x - 1) = g (2 - x) + 1$ ， $f (- 1) = 1$ ，则 $f (2023) g (2024) =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、2023 D、2024

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13、当 $a < 0$ 时，函数 $f (x) = (x^{2} + a x) e^{x}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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14、若 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\tan 2 α = \frac{2 \cos α}{3 - 2 \sin α}$ ，则 $\tan α$ 等于（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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15、若 ${(x - \frac{3}{\sqrt[3]{x^{2}}})}^{n}$ 的展开式中各项系数之和为 $- 128$ ，则展开式中 $x^{2}$ 的系数为（）

A、 $- 2835$ B、945 C、2835 D、 $- 945$

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16、已知向量 $\vec{a} = (3, - 1)$ ， $\vec{b} = (- 2, m - 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + 2 \vec{b})$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、1 D、0

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17、已知复数 $z = 1 + i$ （ $i$ 是虚数单位），则 $\frac{z}{z \bar{z} + i} =$ （）

A、 $\frac{3}{5} + \frac{1}{5} i$ B、 $\frac{1}{5} + \frac{1}{5} i$ C、 $- \frac{3}{5} + \frac{1}{5} i$ D、 $- \frac{1}{5} + \frac{1}{5} i$

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18、某高中共有学生1200人，其中高一、高二、高三的学生人数比为 $6 : 5 : 4$ ，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，则高三年级应该抽取（）人.

A、16 B、18 C、20 D、24

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19、已知三次函数 $f (x) = x^{3} + b x^{2} + 5 (b < 0)$ 有极小值点 $x = 2$ ，则下列说法中正确的有（）

A、 $b = - 3$ B、函数 $f (x)$ 有三个零点 C、函数 $f (x)$ 的对称中心为 $(1, 3)$ D、过 $(- 1, 1)$ 可以作两条直线与 $y = f (x)$ 的图象相切

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20、为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物实验，得到如下药物结果与动物实验的数据：
患病
未患病
服用药
10
45
没服用药
20
30
由上述数据得出下列结论，其中正确的是（）
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ；
$P (χ^{2} \geq x_{0})$
0.05
0.025
0.010
0.005
$x_{0}$
3.841
5.024
6.635
7.879

A、根据小概率值 $α = 0.025$ 的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.025 B、根据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.01 C、该药物的预防有效率超过 $97.5 %$ D、若将所有试验数据都扩大到原来的10倍，根据小概率值 $α = 0.005$ 的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.005

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$P (χ^{2} \geq x_{0})$	0.05	0.025	0.010	0.005
$x_{0}$	3.841	5.024	6.635	7.879

	患病	未患病
服用药	10	45
没服用药	20	30