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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 对应的边分别为 $a, b, c$ ．若 $b = 2, A = 45 °, C = 75 °$ ，则 $a =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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2、已知 $a > 0, b \in R$ ，则“ $a > b$ ”是“ $|a| > |b|$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3、已知 $α, β$ 表示两个不同的平面， $a, b, c$ 表示三条不同的直线，（）

A、若 $b / / a, a \subset α$ ，则 $b / / α$ B、若 $a \subset α, b \subset α, c ⊥ a, c ⊥ b$ ，则 $c ⊥ α$ C、若 $a \subset α, b \subset α, a / / β, b / / β$ ，则 $α / / β$ D、若 $a ⊥ α, a / / b, b \subset β$ ，则 $α ⊥ β$

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4、已知向量 $\vec{a} = (k - 1, 1), \vec{b} = (k + 3, k)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则实数 $k$ 的值为（）

A、 $3$ B、 $- 1$ C、 $3$ 或 $- 1$ D、 $\frac{- 3 \pm \sqrt{21}}{2}$

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5、已知复数 $z = \frac{1 + i}{1 - i}$ （ $i$ 是虚数单位， $i^{2} = - 1$ ），则 $|\bar{z}| =$ （）

A、1 B、 $\pm 1$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\pm \sqrt{2}$

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6、正多面体是指各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角，又称为柏拉图多面体，因为柏拉图及其追随者对它们所作的研究而得名．自然界中有许多的柏拉图多面体，如甲烷、金刚石分子结构模型都是正四面体，氯化钠的分子结构模型是正六面体，萤石的结晶体有时是正八面体，硫化体的结晶体有时会接近正十二面体的形状……柏拉图多面体满足性质： $V + F - E = 2$ （其中V，F和E分别表示多面体的顶点数，面数和棱数）．

(1)、正十二面体共有几条棱，几个顶点？

(2)、如图所示的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $G, H, I, J, K, L$ 为正方体六个面的中心，假设几何体 $G H I J K L$ 的体积为 $V_{1}$ ，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为 $V_{2}$ ，求 $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ 的值；

(3)、判断柏拉图多面体有多少种？并说明理由．

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7、在① $\sqrt{3} (a^{2} + b^{2} - c^{2}) = 2 b c sin A$ ② $cos A = \frac{2 b - a}{2 c}$ ③ $a sin \frac{A + B}{2} = c sin A$ 这三个条件中任选一个，补充在下面横线中，并加以解答.在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且满足__________.

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $a = 4$ ，求 $△ A B C$ 面积的取值范围.

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8、已知函数 $f (x) = x^{2} - a x + 3, a \in R$ .

(1)、当 $a = 4$ 时，求关于 $x$ 的方程 $f (2^{x}) = 0$ 的解；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (|x|) = 2$ 在 $x \in [- \frac{1}{2}, 3]$ 上有两个不相等的解，求 $a$ 的取值范围.

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9、已知向量 $\vec{a} = (3, 1), \vec{b} = (2, - 1)$ .

(1)、求 $|2 \vec{a} + \vec{b}|$ ；

(2)、求 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值；

(3)、若 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 与 $λ \vec{a} + \vec{b}$ 共线，求实数 $λ$ 的值.

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10、在锐角 $△ A B C$ 中， $cos B = \frac{1}{3}, \vec{A D} = 2 \vec{D C}$ ，且 $△ A B C$ 的面积为3，过 $D$ 分别作 $D E ⊥ B A$ 于 $E$ ， $D F ⊥ B C$ 于 $F$ ，则 $\vec{D E} \cdot \vec{D F} =$ .

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11、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B B_{1} = 2$ ， $D, E$ 分别为 $A C, B C$ 的中点，则多面体 $D E - A_{1} A B B_{1}$ 体积为．

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12、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{5}{6} π$ ，且 $|\vec{a}| = \sqrt{5}$ ， $\vec{b} = (1, - 2)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量坐标为．

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13、如图，正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的上下底面边长分别为3和6，侧棱长为3，则下列结论中正确的有（）

A、过AC的平面截该三棱台所得截面三角形周长的最小值为 $6 \sqrt{3} + 6$ B、棱长为 $\frac{5}{2}$ 的正四面体可以在该棱台内随意转动 C、直径为 $\sqrt{6}$ 的球可以整体放入该三棱台内（含与某面相切） D、该三棱台可以整体放入直径为 $4 \sqrt{3}$ 的球内

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14、若 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 是平面 $α$ 内两个不共线的向量，则下列选项中正确的是（）

A、平面 $α$ 内存在向量不能表示为“ $λ \vec{e_{1}} + μ \vec{e_{2}} (λ, μ \in R)$ ”的形式 B、对于平面 $α$ 内的任意向量 $\vec{a}$ ，有且仅有一个实数对 $(λ, μ)$ ，使得使 $\vec{a} = λ \vec{e_{1}} + μ \vec{e_{2}}$ C、若共线的非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} = λ_{1} \vec{e_{1}} + μ_{1} \vec{e_{2}}, \vec{b} = λ_{2} \vec{e_{1}} + μ_{2} \vec{e_{2}}$ ，则存在实数 $λ$ ，使得 $λ_{1} + μ_{1} = λ (λ_{2} + μ_{2})$ D、若实数 $λ, μ$ 满足 $λ \vec{e_{1}} + μ \vec{e_{2}} = \vec{0}$ ，则 $λ = μ = 0$

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15、若 $10^{a} = 2, 10^{b} = 5$ ，则（）

A、 $a + b > 1$ B、 $a b < \frac{1}{4}$ C、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} < \sqrt{2}$ D、 $a^{2} + b^{2} < \frac{1}{2}$

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16、若 $\frac{m}{cos 40^{\circ}} - \sqrt{3} tan 10^{\circ} - 1 = 0$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、3 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、1

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17、在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，若 $A B = 4$ ， $C D = 2$ ，且 $\vec{E F} \cdot \vec{C D} = - 4$ ，则 $|\vec{E F}| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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18、已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值集合为（）

A、 $\{2 \sqrt{2}\}$ B、 $(0, 2 \sqrt{2}]$ C、 $(0, 4)$ D、 $[2 \sqrt{2}, 4)$

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19、唐代是我国古代金银器制造最为成熟与发达的时期.强盛的国力､开放的心态､丝绸之路的畅通，使得唐代对外交往空前频繁.走进陕西历史博物馆珍宝馆，你会看到“东学西渐”和“西风东来”，各类珍宝无不反映出唐人对自我文化的自信.素面高足银杯（如图1）就是其中一件珍藏.银杯主体可以近似看作半球与圆柱的组合体（假设内壁光滑，杯壁厚度可忽略），如图2所示.已知球的半径为 $r$ ，酒杯容积为 $\frac{10 π r^{3}}{3}$ ，则其内壁表面积为（）

A、 $\frac{10 π r^{2}}{3}$ B、 $4 π r^{2}$ C、 $\frac{14 π r^{2}}{3}$ D、 $\frac{22 π r^{2}}{3}$

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20、在 $△ A B C$ 中，“ $a sin A = b sin B$ ”是“ $△ A B C$ 为等腰三角形”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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