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相关试卷

1、在算式“ $4 \times □ + 1 \times ○ = 30$ ”的两个 $□, ○$ 中，分别填入两个正整数，使它们的倒数之和最小，则这两个数构成的数对 $(□, ○)$ 应为

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2、已知 $x$ ， $y$ 是正实数，且关于 $x$ ， $y$ 的方程 $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \frac{1}{k} \sqrt{x + y}$ 有解，则实数 $k$ 的取值范围是.

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3、已知方程 $x^{2} + (a - 1) x + a + 1 = 0$ 的两根为 $x_{1}, x_{2}$ ，且满足 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 4$ ，则实数 $a =$

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4、已知 $x \in R$ ，记符号 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，集合 $A = \{x | {[x]}^{2} - 2 [x] = 3\}$ ， $B = [- 1, 3]$ ，则 $A \cap B =$

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5、已知 $α$ ： $m + 1 \leq x \leq 2 m + 4$ ， $β$ ： $1 \leq x \leq 3$ ，若 $α$ 是 $β$ 的必要条件，则实数 $m$ 的取值范围是.

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6、已知集合 $A = \{x | - 2 < x < 4\}$ ， $B = \{x | x + a - 1 < 0\}$ ，若 $A \cup \bar{B} = \{x | x > - 2\}$ ，则a的取值范围为

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7、已知集合 $A = \{x | x^{2} + 3 x + 2 = 0\}, B = \{x | x^{2} + (m + 1) x + m = 0\}$ ，若 $A \cup B = A$ ，则 $m =$

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8、若不等式 $|a x + 1| < b$ 的解集为 $(- 1, 2)$ ，则实数a的取值集合为

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9、已知 ${5.4}^{x} = 3$ ， ${0.6}^{y} = 3$ ，则 $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} =$ .

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10、设 $a, b \in R$ ，集合 $\{1, a + b, a\} \supseteq \{0, \frac{b}{a}\}$ ，则 $a + b =$

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11、若 $3 a^{2} + 2 b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ，则 $2024^{a} + 2025^{b}$ =

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12、用描述法表示直角坐标系中第二象限的所有点组成的集合.

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13、设函数 $f (x) = \sin x + \cos x (x \in R)$ .
（1）求函数 $y = {[f (x + \frac{π}{2})]}^{2}$ 的最小正周期；
（2）求函数 $y = f (x) f (x - \frac{π}{4})$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值.

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14、 $△ A B C$ 三边长分别为 $A B = 5$ ， $A C = 6$ ， $B C = 7$ ，则BC边上的中线AD的长为.

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15、问题：正实数a，b满足 $a + b = 1$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值.其中一种解法是： $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = (\frac{1}{a} + \frac{2}{b}) (a + b) = 1 + \frac{b}{a}$ $+ \frac{2 a}{b} + 2 \geq 3 + 2 \sqrt{2}$ ，当且仅当 $\frac{b}{a} = \frac{2 a}{b}$ 且 $a + b = 1$ 时，即 $a = \sqrt{2} - 1$ 且 $b = 2 - \sqrt{2}$ 时取等号.学习上述解法并解决下列问题：

(1)、若正实数x，y满足 $x + y = 1$ ，求 $\frac{2}{x} + \frac{3}{y}$ 的最小值；

(2)、若实数a，b，x，y满足 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，求证： $a^{2} - b^{2} \leq {(x - y)}^{2}$ ；

(3)、求代数式 $M = \sqrt{3 m - 5} - \sqrt{m - 2}$ 的最小值，并求出使得M最小的m的值.

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16、LED灯具有节能环保的作用，且使用寿命长．经过市场调查，可知生产某种LED灯需投入的年固定成本为4万元每生产 $x$ 万件该产品，需另投入变动成本 $W (x)$ 万元，在年产量不足6万件时， $W (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x$ ，在年产量不小于6万件时， $W (x) = 7 x + \frac{100}{x} - 39$ ．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量．

(1)、写出年利润 $L (x)$ (万元)关于年产量 $x$ (万件)的函数解析式．(注：年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本)

(2)、年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？

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17、已知 $a, b, c > 0$ ，且 $a + 2 b + 3 c = 4$ ．

(1)、证明： $\frac{{(2 b + 3 c)}^{2}}{a + 2 b} + \frac{{(a + 3 c)}^{2}}{2 b + 3 c} + \frac{{(a + 2 b)}^{2}}{a + 3 c} \geq 8$ ．

(2)、若 $2 b = 3 c$ ，求 $\frac{1}{2 a + 1} - \frac{1}{2 b + 3} + \frac{a}{3 c + 3}$ 的最小值．

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18、已知集合 $A = \{x |x^{2} - 5 x - 6 < 0\}$ ， $B = \{x |m + 1 < x < 2 m - 1\}$ 且 $B \neq \emptyset$ .

(1)、若“命题 $p : \exists x \in A$ ， $x \in B$ ”是真命题，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $s : x \in B$ 是 $t : x \in A$ 的充分不必要条件，求实数 $m$ 的取值范围.

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19、已知 $R$ 为全集，集合 $A = \{x | \frac{2 x - 1}{x + 1} \leq 1, x \in R\}$ ，集合 $B = \{x| a - 1 \leq x \leq a + 1\}$ ．

(1)、求集合A；

(2)、若 $B \cap ∁_{R} A = B$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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20、定义集合 $P = {x | a \leq x \leq b}$ 的“长度”是 $b - a$ ，其中a， $b \in$ R ．已如集合 $M = {x | m \leq x \leq m + \frac{1}{2}}$ ， $N = {x | n - \frac{3}{5} \leq x \leq n}$ ，且M，N都是集合 ${x | 1 \leq x \leq 2}$ 的子集，则集合 $M \cap N$ 的“长度”的最小值是；若 $m = \frac{6}{5}$ ，集合 $M \cup N$ 的“长度”大于 $\frac{3}{5}$ ，则n的取值范围是.

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