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相关试卷

1、已知向量 $\vec{m} = (1, 1), \vec{n} = (3, λ)$ ，若 $\vec{m} // \vec{n}$ ，则 $λ =$ （）

A、1 B、-1 C、3 D、 $\sqrt{3}$

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2、已知集合 $A = \{- 3, - 2, - 1, 0\}, B = \{x| - 2 \leq x \leq 1, x \in Z\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 2, - 1, 0}$ B、 ${- 1, 0, 1}$ C、 $[- 2, 0]$ D、 $[- 2, 1]$

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3、已知函数 $f (x) = \frac{e^{2 x}}{2} - a e^{x} + x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的极值点个数；

(2)、若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ，直线 $y = k x + b$ 过点 $(x_{1}, f (x_{1})), (x_{2}, f (x_{2}))$ .
（i）证明： $k > f^{'} (ln \frac{a}{2})$ ；
（ii）证明： $b < \frac{1}{2} - a$ .

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4、已知函数 $f (x) = |x - \frac{3}{x} + 2| + m$ .

(1)、若函数 $y = f (x)$ 有4个零点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} (x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4})$ ，求 $x_{1} x_{2} x_{3} x_{4}$ 的值；

(2)、是否存在非零实数 $m$ ，使得函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b] (0 < a < b)$ 上的取值范围为 $[\frac{2 m}{a}, \frac{2 m}{b}]$ ？若存在，求出 $m$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

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5、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $△ P A B$ 为正三角形，且侧面 $P A B ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $M$ 为 $P D$ 的中点.

(1)、求证： $P B ∥$ 平面 $A C M$ ；

(2)、求直线 $B M$ 与平面 $P A D$ 所成角的正弦值；

(3)、求平面 $P A C$ 与平面 $P A D$ 夹角的余弦值．

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6、已知 ${(x^{2} + \frac{2}{\sqrt{x}})}^{m}$ 的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求展开式中所有项的系数和；

(2)、求展开式中二项式系数最大的项；

(3)、将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率.

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7、“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为．

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8、已知定义在实数集R上的函数 $f (x)$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，且满足 $f (x + y) = f (x) + f (y) + x y$ ， $f (1) = 0, f^{'} (1) = \frac{1}{2}$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (x)$ 的图像关于点 $(\frac{1}{2}, 0)$ 成中心对称 C、 $f (2024) = 1012 \times 2023$ D、 $\sum_{k = 1}^{2024} f^{'} (k) = 1012 \times 2024$

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9、如图所示，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 是线段 $A D_{1}$ 的中点，点 $M, N$ 满足 $\vec{A_{1} M} = λ \vec{A_{1} C}$ ， $\vec{B_{1} N} = μ \vec{B_{1} C_{1}}$ ，其中 $λ, μ \in (0, 1)$ ，则（）

A、当 $λ = \frac{1}{2}, μ = \frac{2}{3}$ 时，过 $E, M, N$ 三点的平面截正方体得到的截面多边形为正方形 B、存在 $λ \in (0, 1)$ ，使得平面 $A D_{1} M ⊥$ 平面 $A B_{1} C$ C、存在 $λ, μ \in (0, 1)$ ，使得平面 $M E N$ $∥$ 平面 $A B_{1} C$ D、当 $μ = \frac{1}{2}$ 时，点 $A$ 到平面 $A_{1} N C$ 的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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10、下列命题中，正确的命题是（）

A、已知随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (n, p)$ ，若 $E (X) = 30, D (X) = 20$ ，则 $p = \frac{2}{3}$ B、某人在10次射击中，击中目标的次数为 $X, X \sim B (10, 0.7)$ ，当 $X = 7$ 时概率最大 C、设随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (0, 1)$ ，若 $P (ξ > 1) = p$ ，则 $P (- 1 < ξ < 0) = \frac{1}{2} - p$ D、已知 $P (A) = \frac{1}{3}, P (\bar{A}| B) = \frac{3}{4}, P (\bar{A}| \bar{B}) = \frac{1}{2}$ ，则 $P (B) = \frac{2}{3}$

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11、已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有3个红球和4个蓝球，从乙盒中随机抽取 $i (i = 1, 2)$ 个球放入甲盒中．
（a）放入 $i$ 个球后，甲盒中含有红球的个数记为 $ξ_{i} (i = 1, 2)$ ；
（b）放入 $i$ 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为 $p_{i} (i = 1, 2)$ ．则（）

A、 $p_{1} > p_{2}, E (ξ_{1}) < E (ξ_{2})$ B、 $p_{1} < p_{2}, E (ξ_{1}) > E (ξ_{2})$ C、 $p_{1} > p_{2}, E (ξ_{1}) > E (ξ_{2})$ D、 $p_{1} < p_{2}, E (ξ_{1}) < E (ξ_{2})$

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12、已知三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C, A B ⊥ B C, A B = 3, B C = 4, P A = 5$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的表面积为（）

A、 $36 π$ B、 $40 π$ C、 $45 π$ D、 $50 π$

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13、在由0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的有(　　)

A、512个 B、192个 C、240个 D、108个

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14、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x^{3} - 2, x \geq 0 \\ \frac{1}{x^{2}} - 1, x < 0 \end{matrix}$ ，则 $f (f (1)) =$ （）

A、1 B、0 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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15、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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16、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x + \frac{1}{x} + 1$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在 $R$ 上的解析式；

(2)、用函数单调性的定义证明： $f (x)$ 在 $(0, 1)$ 上是减函数．

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17、已知实数 $a$ ， $b$ 满足 $b (e^{a} - 1) + a = e^{b} - \ln b$ ，则 $b - 2 a$ 的最大值是.

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18、用模型 $y = a e^{b x}$ 拟合一组数据组 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 9)$ ，其中 $y_{1} y_{2} \cdot \cdot \cdot y_{9} = e^{51}$ .设 $z = ln y$ ，变换后的线性回归方程为 $\hat{z} = x + 5$ ，则 $x_{1} + x_{2} + \cdot \cdot \cdot + x_{9} =$ ．

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19、已知随机变量 $ξ$ 的取值为 $i (i = 0, 1, 2)$ ，若 $P (ξ = 0) = \frac{1}{5}$ ， $E (ξ) = 1$ ，则 $D (2 ξ - 3) =$ .

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20、如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，设移动n次后质点位于位置 $X_{n}$ .则下列命题正确的是（）

A、 $P (X_{3} = 0) = 0$ B、 $P (X_{4} = - 2) = \frac{1}{4}$ C、 $E (X_{n}) = 0$ D、移动n次后质点最有可能回到原点

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