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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = 2 sin (2 x + φ) (|φ| < π)$ ，将函数 $f (x)$ 向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位得到的图像关于 $y$ 轴对称且当 $x = \frac{π}{6}$ 时， $f (x)$ 取得最大值.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式：

(2)、将函数 $f (x)$ 图象上所有的点向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $x_{1}, x_{2} \in (- \frac{π}{6}, \frac{π}{2})$ ，且 $g (x_{1}) = g (x_{2})$ ，求 $g (x_{1} + x_{2})$ 的值.

(3)、方程 $f^{2} (x) + (2 - a) f (x) + 1 = 0$ 在 $[\frac{π}{6}, \frac{11}{12} π]$ 上有4个不相等的实数根，求实数 $a$ 的取值范围.

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2、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $B C C_{1} B_{1}$ ， $A B B_{1} A_{1}$ 均为正方形， $A B = B C = 1$ ， $∠ A B C = 90^{\circ}$ ，点 $D$ 是棱的 $A_{1} C_{1}$ 中点.

(1)、求证： $B_{1} D ⊥$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ ；

(2)、求证： $B C_{1} //$ 平面 $A B_{1} D$ ；

(3)、求异面直线 $B_{1} D$ 与 $B C_{1}$ 所成角的大小.

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3、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, a = 2, \frac{\sqrt{5}}{5} sin A = 1 - cos A$ ．

(1)、求 $cos A$ ；

(2)、若 $A D$ 为 $△ A B C$ 的中线，且 $A D = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积 $S$ ．

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4、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = \sqrt{2}, | \vec{b} | = 2 \sqrt{2}$ ．

(1)、若向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值；

(2)、若 $| \vec{a} + \vec{b} | = 4$ ，求 $| \vec{a} - 2 \vec{b} |$ 的值；

(3)、若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，求向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角.

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5、已知复数 $z = m^{2} - 1 + (m^{2} - 2 m - 3) i$ （ $m \in R$ ）.

(1)、若复数 $z$ 在复平面内对应的点位于第四象限，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $\frac{z i}{1 - i}$ 是纯虚数，求 $m$ 的值.

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6、抚仙湖，位于澄江市、江川区、华宁县之间，湖面积仅次于滇池和洱海，为云南省第三大湖，也是我国最大的深水型淡水湖泊．如图所示，为了测量抚仙湖畔M，N两点之间的距离，现取两点E，F，测得 $E F = 7$ 公里， $∠ M F N = \frac{3 π}{4}$ ， $∠ N F E = ∠ M E F = \frac{π}{12}$ ， $∠ M E N = \frac{2 π}{3}$ ，则M，N两点之间的距离为公里．

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7、如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形，如果三棱柱的体积 $12 \sqrt{3}$ ，圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为

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8、定义在区间 $[- 4 π, 4 π]$ 上的函数 $y = \sin | 2 x |$ 与 $y = \cos x$ 的图象的交点个数为.

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9、如图，正方体 $A B C D - A B G D$ 的棱长为1，动点 $E$ 在直线 $A_{1} C_{1}$ 上， $F$ ， $M$ 分别是 $A D$ ， $C D$ 的中点，则下列结论中正确的是（）

A、 $F M // A_{1} C_{1}$ B、 $B M ⊥$ 平面 $C C_{1} F$ C、三棱锥 $B - C E F$ 的体积为定值 D、存在点 $E$ ，使得平面 $B E F //$ 平面 $C C_{1} D_{1} D$

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10、已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (- 2, 2), \vec{c} = (4, k)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{a}$ 的相反向量是 $- \vec{a}$ B、若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ，则 $k = - 2$ C、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ D、若 $(\vec{a} + \vec{b}) // \vec{c}$ ，则 $k = 1$

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11、已知四棱锥 $A - C D E F$ 的顶点都在体积为 $\frac{500 π}{3}$ 的球面上，底面 $C D E F$ 为面积为32的正方形，则当四棱锥 $A - C D E F$ 体积最大时，该四棱锥的表面积为（）

A、66 B、96 C、 $\frac{256}{3}$ D、128

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12、如图，在等腰梯形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $C D = 3$ ， $\vec{B C} = 4 \vec{B E}$ ，则 $\vec{D E} =$ （）

A、 $\vec{D C} + \frac{3}{4} \vec{D A}$ B、 $\frac{3}{4} \vec{D C} + \frac{3}{4} \vec{D A}$ C、 $\frac{3}{4} \vec{D C} + \frac{2}{3} \vec{D A}$ D、 $\frac{3}{4} \vec{D C} + \vec{D A}$

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13、已知m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，下列正确的是（）

A、若m⊥n， $n // a$ ，则m⊥α B、若m⊥α，α⊥β，则m⊥β C、若m⊥n，n⊥α，则m⊥α D、若m⊥α，α∥β，则m⊥β

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14、已知 $z \in C$ ，且 $|z - 2 - 2 i| = 1$ ，则 $|z + 2 - 2 i|$ 的最小值是（）

A、 $2$ B、 $5$ C、 $4$ D、 $3$

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15、 $△ O^{'} ^{'} A^{'} ^{'} B^{'} ^{'}$ 是 $△ O A B$ 在斜二测画法下的直观图，其中 $O^{'} ^{'} B^{'} ^{'} = 2 O^{'} A^{'} = 4$ ，则 $△ O A B$ 的面积是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、4 C、8 D、 $8 \sqrt{2}$

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16、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a = 4$ ， $b = 4 \sqrt{3}$ ， $A = \frac{π}{6}$ ，则角 $B$ 的大小为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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17、已知 $z = \frac{1 + 2 i}{1 - i}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{3}{2} i$ B、 $\frac{3}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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18、定义向量 $\vec{O M} = (a, b)$ 的“伴随函数”为. $f (x) = a sin x + b cos x ；$ 函数. $f (x) = a sin x + b cos x$ 的“伴随向量”为 $\vec{O M} = (a, b) .$

(1)、在 $△ O A B$ 中，已知 $\vec{O A} = (6, - 3) ， \vec{O B} = (3, - 3) ，$ 点M 为边AB上的点，且 $\vec{O M} = \frac{1}{3} \vec{O A} + λ \vec{O B} ，$ 求出向量 $\vec{O M}$ 的“伴随函数” $f (x)$ ，并直接写出 $f (x)$ 的最大值 $M$ ；

(2)、已知向量 $\vec{a} = (- 2 sin \frac{x}{2}, 2) ， \vec{b} = (\sqrt{3} cos \frac{x}{2}, 1 - 2 {sin}^{2} \frac{x}{2}) ，$ 函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} ，$ 求函数 $f (x)$ 的“伴随向量” $\vec{O M}$ 的坐标；

(3)、已知 $|\vec{O M}| = |\vec{O N}| = 1 ，$ 向量 $\vec{O M} 、 \vec{O N}$ 的“伴随函数”分别为 $f (x)$ 、 $g (x)$ ，设 $\vec{O P} = λ \vec{O M} + μ \vec{O N} (λ > 0, μ > 0)$ 且 $\vec{O P}$ 的“伴随函数”为 $h (x)$ ，其最大值为m. 求证：向量 $\vec{O M} = \vec{O N}$ 的充要条件为 $m = λ + μ .$

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19、在 $△ A B C$ 中，满足 $c + \sqrt{3} a \sin B - b - a \cos B = 0$

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{19}$ ，边 $B C$ 上的中线， $A D = \sqrt{7}$ ，求 $△ A B C$ 的周长和面积.

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20、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、求证： $B D ⊥ P C$ ；

(2)、若 $P C$ 与底面 $A B C D$ 所成的角为45°；
①求点B到平面 $P C D$ 的距离；
②求二面角 $D - P C - A$ 的余弦值.

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