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相关试卷

1、高斯取整函数 $f (x) = [x]$ 的函数值表示不超过x的最大整数，例如， $[- 3.5] = - 4$ ， $[2.1] = 2$ ．有如下四个结论：
①若 $x \in (0, 1)$ ，则 $f (- x) + \frac{1}{2} = - (f (x) + \frac{1}{2})$ ；
②函数 $f (x) = [x]$ 与函数 $h (x) = x - 1$ 无公共点；
③ $\sum_{k = 1}^{23} f (- \frac{k}{7}) + \sum_{k = 1}^{23} f (\frac{k}{7}) = - 23$ ；
④所有满足 $f (m) = f (n) (m, n \in [0, \frac{10}{3}])$ 的点 $(m, n)$ 组成区域的面积为 $\frac{28}{9}$ ．
其中所有正确结论的序号是．

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2、已知 $\cos (α + \frac{π}{6}) = \frac{3}{5}$ ，则 $\cos (2 α + \frac{π}{3}) =$ .

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3、在 ${(\frac{2}{x^{2}} - x)}^{9}$ 的展开式中，常数项为.

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4、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为棱 $B B_{1}$ 的中点，点 $Q$ 满足 $\vec{C_{1} Q} = λ \vec{C_{1} B_{1}} + μ \vec{C_{1} C}$ ， $(λ \in [0, 1], μ \in [0, 1])$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $A C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} P D$ B、若 $D_{1} Q //$ 平面 $A_{1} P D$ ，则动点 $Q$ 的轨迹长度为 $\sqrt{2}$ C、若 $λ + μ = \frac{1}{2}$ ，则四面体 $D P Q A_{1}$ 的体积为定值 D、若 $M$ 为正方形 $A D D_{1} A_{1}$ 的中心，则三棱锥 $M - A B D$ 外接球的体积为 $\frac{8 \sqrt{2}}{3} π$

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5、已知 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $△ A B C$ 的面积记为 $S$ ，若 $a = 2, (2 b - c) \cos A = a \cos C$ ，则（）

A、 $A = \frac{π}{3}$ B、 $△ A B C$ 的外接圆周长为 $\frac{8 \sqrt{3}}{3} π$ C、 $S$ 的最大值为 $\sqrt{3}$ D、若 $M$ 为线段 $A B$ 的中点，且 $C M = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $S = \sqrt{3}$

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6、下列命题为假命题的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、若 $a > b > 0$ 且 $c > 0$ ，则 $\frac{a}{b} > \frac{a + c}{b + c}$ C、不等式 $k x^{2} + k x - 1 < 0$ 对一切实数 $x$ 恒成立，则 $- 4 < k < 0$ D、“ $x < 5$ ”是“ $\frac{3}{x - 1} \geq 1$ ”的一个必要不充分条件

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7、已知函数 $f (x) = e^{x - 4} - e^{4 - x} + x$ ，则满足 $f (2 m - 2) + f (m + 1) > 8$ 的 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(3, + \infty)$ B、 $(\frac{1}{2}, + \infty)$ C、 $(- \infty, \frac{1}{3})$ D、 $(- \infty, 7)$

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8、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 若直线 $3 x + 4 y = 0$ 与 $C$ 没有公共点，则 $C$ 的离心率的范围为（）

A、 $(1, \frac{5}{4})$ B、 $(0, \frac{5}{4})$ C、 $(1, \frac{5}{4}]$ D、 $[\frac{5}{4}, + \infty)$

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9、下列说法错误的是（）

A、若随机变量 $X$ 服从正态分布 $X ~ N (3, σ^{2})$ ，且 $P (X \leq 4) = 0.7$ ，则 $P (3 < X < 4) = 0.2$ ； B、若事件 $M, N$ 相互独立， $P (M) = \frac{1}{2}, P (N) = \frac{1}{3}$ ，则 $P (M \cup N) = \frac{5}{6}$ ； C、对具有线性相关关系的变量 $x, y$ ，利用最小二乘法得到的经验回归方程为 $\hat{y} = 0.4 x - m$ ，若样本点的中心为 $(m, 1.8)$ ，则实数 $m$ 的值是 $- 3$ ； D、若决定系数 $R^{2}$ 越大，则两个变量的相关性越强.

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10、圆心为 $(2, \sqrt{3})$ 且与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的准线相切的圆的方程是（）

A、 ${(x + 2)}^{2} + {(y + \sqrt{3})}^{2} = 16$ B、 ${(x + 2)}^{2} + {(y + \sqrt{3})}^{2} = 9$ C、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - \sqrt{3})}^{2} = 16$ D、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - \sqrt{3})}^{2} = 9$

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11、等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} + a_{4} = 3, a_{2} + a_{5} = 6$ ，则 $S_{6} =$ （）

A、21 B、28 C、36 D、48

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12、已知函数 $f (x) = a x e^{x} - ln x - x - 1$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若不等式 $f (x) \geq 0$ 恒成立，证明： $a \geq 1$ ．

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13、设函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + x + 1, a \in R$ ．
（1）若 $x = 1$ 时，函数 $f (x)$ 取得极值，求函数 $f (x)$ 的图像在 $x = - 1$ 处的切线方程；
（2）若函数 $f (x)$ 在区间 $(\frac{1}{2}, 1)$ 内不单调，求实数 $a$ 的取值范围．

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14、已知函数 $g (x) = |ln x| - 2 a$ 的两个零点分别为 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $\frac{x_{1} x_{2}^{2}}{a}$ 的最小值为．

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15、已知函数 $f (x) = \frac{ln x}{x}$ ，则 $f^{'} (e) =$ .

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16、已知函数 $f (x) = - 3 x^{4} + 6 x^{2} - 1$ ， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，且 $f^{'} (a) = f^{'} (b) = f^{'} (c)$ ，其中 $a < b < c$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的所有极值点之和为0 B、 $f (x)$ 的极大值点之积为2 C、 $a b + a c + b c = - 1$ D、 $a b c$ 的取值范围是 $(- 32 \sqrt{3}, 32 \sqrt{3})$

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17、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = 16$ ，公差 $d = - 4$ ，在 $\{a_{n}\}$ 中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列 $\{b_{n}\}$ ， $S_{n}$ 是数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.以下说法正确的是（）

A、 $b_{n} = 17 - n$ B、 $b_{29}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的第8项 C、当 $n = 17$ 时， $S_{n}$ 最大 D、 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是公差为 $- 1$ 的等差数列

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18、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2 - x^{2}, - 2 \leq x \leq 0 \\ 1 + \ln x, 0 < x \leq e \end{array}$ ，函数 $g (x) = f (x) - m - 1$ 恰有两个不同的零点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，则 $x_{1}^{2} + x_{2}$ 的最大值和最小值的差是（）

A、 $2 + e^{- 3}$ B、 $4 + e^{- 3}$ C、 $2 - e^{- 3}$ D、 $4 - e^{- 3}$

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19、已知函数 $f (x) = \sqrt{x}$ ，则 $lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1 + Δ x) - f (1)}{2 Δ x} =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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20、已知 $△ A B C$ 是锐角三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 $\frac{a \sin A + c \sin C - b \sin B}{a \sin B \sin C}$ $= 2 \sqrt{3}$ ，在 $△ A B C$ 所在平面内以AC为边向外作 $△ A C D$ 如图所示， $A D = 3$ ， $\vec{D A} \cdot \vec{D C} = - 3$ ， $S_{△ A C D} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求B；

(2)、求 $△ A C D$ 的内切圆半径r；

(3)、求 $△ A B C$ 的面积的取值范围.

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