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相关试卷

1、如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AA₁＝AC＝4，AB＝3，BC＝5，点D是线段BC的中点．

(1)、求证：AB⊥A₁C；

(2)、求二面角D﹣CA₁﹣A的余弦值；

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2、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $b sin B + c sin C - a sin A = \sqrt{3} b sin C$ ．

(1)、求 $A$ ．

(2)、若 $a = 2$ ， $\sqrt{2} b sin C = c sin 2 B$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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3、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} + a_{3} = \frac{5}{2}$ ， $a_{2} + a_{4} = \frac{5}{4}$ ，则 $\frac{S_{n}}{a_{n}} =$ .

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4、已知椭圆的一个焦点为 $F (1, 0)$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，则椭圆的标准方程为．

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5、某产品的广告费用 $x$ 万元与销售额 $y$ 万元的统计数据如下表：
广告费用 $x$ （万元）
2
3
4
5
销售额 $y$ （万元）
26
$m$
49
54
根据上表可得回归方程 $\hat{y} = 9 x + 10.5$ ，则 $m$ 为.

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6、已知函数 $f (x) = 2 cos (ω x + φ)$ （其中 $- \frac{π}{2} < φ < 0$ ）的部分图象如图所示，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 在 $[- \frac{5 π}{12}, \frac{π}{12}]$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 的图象可由 $g (x) = 2 sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度得到 D、函数 $F (x) = f (\frac{x}{2} - \frac{π}{6}) + 2 f (\frac{x}{2} + \frac{π}{12})$ 的最大值为 $2 \sqrt{5}$

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7、下列说法正确的有（）

A、3名女生和5名男生排成一排，女生全排在一起，有 $A_{3}^{3} \cdot A_{6}^{6}$ 种排法 B、若 $ξ ～ N (25, 4)$ ，则 $P (20 \leq ξ \leq 25) + P (ξ \geq 30) = \frac{1}{2}$ C、4名学生选2个人参加某项活动，则共有 $A_{4}^{2}$ 种选法 D、 ${(1 - x)}^{8}$ 展开式中 $x^{3}$ 项的系数为 $- 56$

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8、若 $cos (α - \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ，则 $sin (2 α + \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{4 \sqrt{2}}{9}$ B、 $\frac{7}{9}$ C、 $- \frac{4 \sqrt{2}}{9}$ D、 $- \frac{7}{9}$

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9、 $f (x)$ 是定义在R上周期为 $2$ 的奇函数，当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $f (x) = x^{2} - x$ ，则 $f (\frac{7}{2}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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10、如图所示，在 $△ A B C$ 中， $B D = 2 D C$ ．若 $\overset{⃑}{A B} = \vec{a}$ ， $\overset{⃑}{A C} = \vec{b}$ ，则 $\overset{⃑}{A D} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}$

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11、若集合 $A = {- 2, 0, 1}$ ， $B = {x | x < - 1$ 或 $x > 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 2}$ B、 ${ 1}$ C、 ${- 2, 1}$ D、 ${- 2, 0, 1}$

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12、已知集合 $Ω_{n} = \{X| X = (x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}), x_{i} \in \{0, 1\}, i = 1, 2, ..., n\}$ ，对于任意 $X \in Ω_{n}$ ，
操作一：选择 $X$ 中某个位置（某两个数之间或第一个数之前或最后一个数之后），插入连续 $k$ 个 $1$ 或连续 $k$ 个 $0$ ，得到 $Y \in Ω_{n + k} (k \geq 1)$ ；
操作二：删去 $X$ 中连续 $k$ 个 $1$ 或连续 $k$ 个 $0$ ，得到 $Y \in Ω_{n - k} (1 \leq k \leq n - 1)$ ；
进行一次操作一或者操作二均称为一次“ $10$ 月变换”，在第 $n$ 次 $(n \in N^{*})$ “ $10$ 月变换”的结果上再进行 $1$ 次“ $10$ 月变换”称为第 $n + 1$ 次“ $10$ 月变换”．

(1)、若对 $X = (0, 1, 0)$ 进行两次“ $10$ 月变换”，依次得到 $Y \in Ω_{4}$ ， $Z \in Ω_{2}$ ．直接写出 $Y$ 和 $Z$ 的所有可能情况．

(2)、对于 $X = (0, 0, ..., 0) \in Ω_{100}$ 和 $Y = (0, 1, 0, 1, ..., 0, 1) \in Ω_{100}$ 至少要对 $X$ 进行多少次“ $10$ 月变换”才能得到 $Y$ ？说明理由．

(3)、证明：对任意 $X, Y \in Ω_{2 n}$ ，总能对 $X$ 进行不超过 $n + 1$ 次“ $10$ 月变换”得到 $Y$ ．

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13、设函数 $f (x) = e^{x} - m ln x - m x (m > 0)$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数， $f^{'} (x)$ 有唯一零点 $x_{0}$ .

(1)、 $y = f^{'} (x)$ 的图像在 $(x_{0}, 0)$ 处的切线方程为 $y = g (x)$ ，求 $\frac{g (2 x_{0})}{m}$ 的最小值及此时 $m$ 的取值；

(2)、若对任意满足 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ 的 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 都有 $x_{1} + x_{2} > 2 x_{0}$ ，证明： $m \leq \frac{e}{2}$ .

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14、如图，边长为4的两个正三角形 $A B C$ ， $B C D$ 所在平面互相垂直， $E$ ， $F$ 分别为 $B C$ ， $C D$ 的中点，点 $G$ 在棱 $A D$ 上， $A G = 2 G D$ ，直线 $A B$ 与平面 $E F G$ 相交于点 $H$ .

(1)、证明： $B D // G H$ ；

(2)、求直线 $B D$ 与平面 $E F G$ 的距离.

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15、海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨3点06分）
时刻：x（时）
0
3.1
6.2
9.3
12.4
15.5
18.6
21.7
24
水深：y（米）
5.0
7.4
5.0
2.6
5.0
7.4
5.0
2.6
4.0

(1)、根据以上数据，可以用函数 $y = A sin (ω x + φ) + b (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，求出这个函数的解析式；

(2)、某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长．

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n} = n^{2} + 3 n, n \in N^{*}$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式：

(2)、若等比数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = a_{2}, b_{2} = a_{3}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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17、设实数x、y、z、t满足不等式 $1 \leq x \leq y \leq z \leq t \leq 100$ ，则 $\frac{x}{y} + \frac{z}{t}$ 的最小值为.

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18、已知函数 $f (x) = |ln (x + 1)| - k$ 有两个零点 $a, b (a < b)$ ，则 $a + 2 (b + 1)$ 的取值范围为．

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19、已知对任意实数x，均有 $cos (x - \frac{π}{6}) = sin (ω x + φ), ω \in R$ ，写出一组满足条件的 $(ω, φ) =$ ．

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20、抛物线 $τ$ ： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 焦点为F，且过点 $A (4, 4)$ ，斜率互为相反数的直线 $A C$ ， $A D$ 分别交 $τ$ 于另一点C和D，则下列说法正确的有（）

A、直线 $C D$ 过定点 B、 $τ$ 在C，D两点处的切线斜率和为 $- 4$ C、 $τ$ 上存在无穷多个点到点F和直线 $y = 5$ 的距离和为6 D、当C，D都在A点左侧时， $△ A C D$ 面积的最大值为 $\frac{256 \sqrt{3}}{9}$

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广告费用 $x$ （万元）	2	3	4	5
销售额 $y$ （万元）	26	$m$	49	54

时刻：x（时）	0	3.1	6.2	9.3	12.4	15.5	18.6	21.7	24
水深：y（米）	5.0	7.4	5.0	2.6	5.0	7.4	5.0	2.6	4.0