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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (3, 2)$ ， $\vec{b} = (4, x)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ .

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2、已知正实数 $x$ ， $y$ 满足 $x ln y + y ln x = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $0 < x < 1$ ，则 $y > e$ B、若 $1 < x < e$ ，则 $2 x + 3 y > 5 e$ C、若 $|x - y| < e - 1$ ，则 $2 < x + y < 2 e$ D、若 $1 < x < \sqrt{e}$ ，则 $\sqrt{e} < y < e$

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3、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 的直线与 $C$ 的左支相交于 $P$ ， $Q$ 两点，若 $P Q ⊥ P F_{2}$ ，且 $4 |P Q| = 3 |P F_{2}|$ ，则（）

A、 $|P Q| = 2 a$ B、 $\vec{P F_{1}} = - 2 \vec{Q F_{1}}$ C、 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{17}}{3}$ D、直线 $P Q$ 的斜率为 $\pm 4$

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4、若一组数据14，17，11，9，12，15， $m$ ， 8，10，7的第65百分位数为12，则 $m$ 的值可能为（）

A、8 B、10 C、13 D、14

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5、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2$ ， $A B = A D = 1$ ， $M$ 是 $C_{1} D$ 上一点，且 $C M ⊥ B_{1} D$ ，则四棱锥 $M - A B C D$ 的体积为（）

A、 $\frac{2}{15}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{8}{15}$ D、 $\frac{8}{5}$

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6、设 $\{b_{n}\}$ 是公差为3的等差数列，且 $b_{n} = a_{n + 1} + a_{n}$ ，若 $a_{1} = 1$ ，则 $a_{21} =$ （）

A、21 B、25 C、27 D、31

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7、曲线 $f (x) = e^{x} - 3 x$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{3}$

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8、某地下雪导致路面积雪，现安排9名男志愿者，5名女志愿者参与扫雪和铲雪工作，其中3名女志愿者，2名男志愿者参与扫雪工作，其余志愿者参与铲雪工作，则不同的安排方法共有（）

A、240种 B、360种 C、720种 D、2002种

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9、将函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则 $g (x) =$ （）

A、 $sin 2 x$ B、 $- sin 2 x$ C、 $sin (2 x + \frac{π}{3})$ D、 $cos (2 x + \frac{π}{6})$

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10、若复数 $z$ 满足 $z - \bar{z} = \frac{m + i}{3 - i}$ ，则实数 $m =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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11、已知全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x |x^{2} - 3 x - 10 \geq 0\}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $[- 5, 2]$ B、 $[- 2, 5]$ C、 $(- 5,2)$ D、 $(- 2, 5)$

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12、已知 $P$ 是椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 上一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为 $E$ 的左、右焦点，则 $|P F_{1}| + |P F_{2}| =$ （）

A、8 B、6 C、4 D、3

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13、（1）求值： $\tan 13 ° + \tan 47 ° + \sqrt{3} \tan 13 ° \tan 47 °$ .
（2）在非直角 $△ A B C$ 中，求证： $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \cdot \tan B \cdot \tan C$ ；
（3）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基人之一，享有数学“王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界的三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 $x \in R$ ，符号 $[x]$ 表示不大于x的最大整数，则 $y = [x]$ 称为“高斯函数”，例如 $[- 3.5] = - 4$ ， $[2.5] = 2$ ， $[- 3] = - 3$ .在非直角 $△ A B C$ 中，角A、B、C满足 $\tan A \cdot \tan B \cdot \tan C \leq [\tan A] + [\tan B] + [\tan C]$ ，若 $A \leq B \leq C$ ，试求 $\tan C - \tan B$ .

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14、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，请从下列条件中选择一个条件作答：（注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分.）
① $c - a \cos B = b - \sqrt{3} a \sin B$ ；② $b \sin B + c \sin C - a \sin A = - b \sin C$ .

(1)、求A；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ，内角A的角平分线交边 $B C$ 于E，求 $A E$ 的最大值；

(3)、若 $a = 7$ ，边 $B C$ 上的中线 $A D = \frac{\sqrt{11}}{2}$ ，设点O为 $△ A B C$ 的外接圆圆心，求 $\vec{A O} \cdot \vec{A D}$ 的值.

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15、已知向量 $\vec{m} = (2 \sin x, 2 \cos x)$ ， $\vec{n} = (\cos x, - \sqrt{3} \cos x)$ ， $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n} + \sqrt{3}$ .

(1)、若将函数 $f (x)$ 图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，再把得到的图象上所有点横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，得到函数 $g (x)$ ，试求 $g (x)$ 在 $[0, \frac{π}{3}]$ 上的单调递减区间；

(2)、锐角 $△ A B C$ 中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $a = \sqrt{6}$ ， $f (A) = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围.

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16、已知向量 $\vec{a} = (2 \cos θ, \sin θ)$ ， $\vec{b} = (1, - 2)$

(1)、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，求 $\frac{\sin θ - \cos θ}{\sin θ + \cos θ}$ 的值；

(2)、若 $θ = 45^{\circ}$ ， $2 \vec{a} - t \vec{b}$ 与 $\sqrt{2} \vec{a} + \vec{b}$ 垂直，求实数 $t$ 的值；

(3)、若 $θ = 90^{\circ}$ ，求向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标.

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17、已知锐角 $α$ 的终边经过点 $(2, 1)$ ，

(1)、求 $\cos 2 α$ ， $\sin 2 α$ ；

(2)、若 $\cos (β - α) = \frac{\sqrt{2}}{10}$ ，且 $β \in (\frac{π}{2}, π)$ ，求 $α + β$ .

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18、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $|\vec{a}| = 4$ ， $|\vec{b}| = 4 \sqrt{2}$ ， $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = \frac{π}{4}$ ， $(\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0$ ，则 $|\vec{c}|$ 的最大值为.

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19、已知 $\cos (\frac{π}{3} - α) = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos (2 α + \frac{π}{3}) =$ .

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20、若纯虚数 $z = a^{2} - 1 + (a + 1) i$ ，则 $a$ $=$ .

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