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相关试卷

1、已知集合 $A = \{(x, y) |x^{2} + y^{2} = 4\}, B = \{(x, y) |y = 2 \cos x\}$ ，则 $A \cap B$ 的真子集个数为（）

A、5个 B、6个 C、7个 D、8个

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2、当一个函数值域内任意一个函数值 $y$ 都有且只有一个自变量 $x$ 与之对应时，可以把这个函数的函数值 $y$ 作为一个新的函数的自变量，而这个函数的自变量 $x$ 作为新的函数的函数值，我们称这两个函数互为反函数.例如，由 $y = 3 x, x \in R$ ，得 $x = \frac{y}{3}, y \in R$ ，通常用 $x$ 表示自变量，则写成 $y = \frac{x}{3}, x \in R$ ，我们称 $y = 3 x, x \in R$ 与 $y = \frac{x}{3}, x \in R$ 互为反函数.已知函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 互为反函数，若 $A, B$ 两点在曲线 $y = f (x)$ 上， $C, D$ 两点在曲线 $y = g (x)$ 上，以 $A, B, C, D$ 四点为顶点构成的四边形为矩形，且该矩形的其中一条边与直线 $y = x$ 垂直，则我们称这个矩形为 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的“关联矩形”.

(1)、若函数 $f (x) = \sqrt{x}$ ，且点 $A (\frac{1}{4}, y_{1})$ 在曲线 $y = f (x)$ 上.
（i）求曲线 $y = f (x)$ 在点A处的切线方程；
（ii）求以点A为一个顶点的“关联矩形”的面积.

(2)、若函数 $f (x) = ln x$ ，且 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的“关联矩形”是正方形，记该“关联矩形”的面积为S.证明： $S > 2 {(\sqrt{e} - \frac{1}{2})}^{2}$ .（参考数据： $\sqrt{e} - 1 - ln 2 < 0$ ）

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = \frac{1}{2}, S_{n} = (2^{n} - 1) a_{n}$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、证明： $S_{2} S_{4} \dots S_{2 n} > \frac{1}{2}$ .

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4、已知函数 $f (x) = x^{2} - a ln (x + 1)$ .

(1)、若 $a = 4$ ，求 $f (x)$ 的极值点；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性.

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5、在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{a}{c} = \frac{b^{2} - c^{2}}{b^{2} - a c} \neq 1$ .

(1)、证明： $B = 2 C$ .

(2)、若点 $D$ 在边 $A C$ 上，且 $C D = B D = 4$ ，求 $a$ 的取值范围.

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6、已知正实数 $a, b$ 满足 $2 a + 3 b = 2$ ，则 $\frac{a b}{- a^{2} + 2 b + 4}$ 的最大值为.

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7、若 $α \in (- \frac{π}{2}, 0)$ ，且 $cos 2 α = cos (α + \frac{π}{4})$ ，则 $α =$ .

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8、已知平面向量 $\vec{m}, \vec{n}$ 满足 $\vec{m} \cdot \vec{n} = 3$ ，且 $\vec{m} ⊥ (\vec{m} - 2 \vec{n})$ ，则 $|\vec{m}| =$ .

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9、已知 $a = 2^{{log}_{4} \frac{1}{100}}$ ， $b = ln \frac{10}{9}$ ， $c = \frac{\sqrt{10}}{30}$ ，则（）

A、 $c > a$ B、 $a > b$ C、 $c > b$ D、 $b > a$

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10、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} tan (ω x - φ) (ω > 0, 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $ω = 2$ B、 $φ = \frac{π}{3}$ C、 $f (x)$ 的图象与 $y$ 轴的交点坐标为 $(0, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ D、函数 $y = |f (x)|$ 的图象关于直线 $x = \frac{7 π}{12}$ 对称

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11、在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} a_{2} = 2, a_{3} = 4$ ，则（）

A、 $\{a_{n}\}$ 的公比为 $\sqrt{2}$ B、 $\{a_{n}\}$ 的公比为2 C、 $a_{3} + a_{5} = 20$ D、数列 $\{{log}_{2} \frac{1}{a_{n}}\}$ 为递增数列

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12、已知函数 $f (x) = x^{3} + 3 x + 1$ ，若关于 $x$ 的方程 $f (sin x) + f (m + cos x) = 2$ 有实数解，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $[- 1, \sqrt{2}]$ B、 $[- 1, 1]$ C、 $[0, 1]$ D、 $[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

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13、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 120^{\circ}, A B = 2, A C = 1, D$ 是 $B C$ 边上靠近 $B$ 点的三等分点， $E$ 是 $B C$ 边上的动点，则 $\vec{A E} \cdot \vec{C D}$ 的取值范围为（）

A、 $[- \frac{\sqrt{7}}{7}, \frac{10}{3}]$ B、 $[- \frac{\sqrt{7}}{7}, \frac{7}{3}]$ C、 $[- \frac{4}{3}, \frac{10}{3}]$ D、 $[- \frac{4}{3}, \frac{7}{3}]$

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14、某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润 $s$ （单位：百万元）与新设备运行的时间 $t$ （单位：年， $t \in N^{*}$ ）满足 $s = \{\begin{array}{l} - 2 t^{2} + 50 t - 98, t < 8 \\ - t^{3} + 10 t^{2} - 2 t, t \geq 8 \end{array}$ ，当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间 $t =$ （）

A、 $6$ B、 $7$ C、 $8$ D、 $9$

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15、若对任意的 $x, y \in R$ ，函数 $f (x)$ 满足 $\frac{f (x + y)}{2} = f (x) + f (y)$ ，则 $f (4) =$ （）

A、6 B、4 C、2 D、0

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16、已知函数 $f (x) = {(x - 2)}^{n}, n \in N^{*}$ ，则“ $n = 1$ ”是“ $f (x)$ 是增函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、已知函数 $f (x) = e^{x} - f^{'} (1) x$ ，则（）

A、 $f (1) = - \frac{e}{2}$ B、 $f^{'} (1) = - \frac{e}{2}$ C、 $f (2) = e^{2} - e$ D、 $f^{'} (2) = e^{2} - e$

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18、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - 3 < 0\}, B = {x ∣ 0 < x + 1 < 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1, \sqrt{3})$ B、 $(- \sqrt{3}, 2)$ C、 $(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$ D、 $(- 1, 2)$

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19、命题“ $\exists a > 0, a^{2} + 1 < 2$ ”的否定为（）

A、 $\exists a > 0, a^{2} + 1 \geq 2$ B、 $\exists a \leq 0, a^{2} + 1 \geq 2$ C、 $\forall a > 0, a^{2} + 1 \geq 2$ D、 $\forall a \leq 0, a^{2} + 1 \geq 2$

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20、已知函数 $f (x) = \frac{x + 1}{e^{x}}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、证明 $x \in (0, + \infty)$ 时， $x - ln x \geq \frac{e^{x - 1}}{x} \cdot f (\frac{e^{x - 2}}{x})$ ；

(3)、若对于任意的 $x \in (0, + \infty)$ ，关于 $x$ 的不等式 $e^{x - 2} \geq 2 m x^{2} - x - x ln x$ 恒成立，求出 $m$ 的取值范围.

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