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相关试卷

1、已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{n + 1} = a_{n}^{2} + 2 a_{n} + λ$ $(n \in N^{*})$ ，其中 $λ \in R$ ，下列说法正确的有（）

A、当 $a_{1} = 2, λ = \frac{5}{4}$ 时， $a_{n} \geq n + 1$ B、当 $λ \in [\frac{1}{4}, + ∞)$ 时，数列 ${a_{n}}$ 是递增数列 C、当 $λ = - 2$ 时，若数列 ${a_{n}}$ 是递增数列，则 $a_{1} \in (- ∞, - 3) \cup (1, + ∞)$ D、当 $a_{1} = 3, λ = 0$ 时， $\frac{1}{a_{1} + 2} + \frac{1}{a_{2} + 2} + ⋯ + \frac{1}{a_{n} + 2} < \frac{1}{3}$

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2、已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ ，记 $T_{n} = a_{1} a_{2} a_{3} ⋯ a_{n}$ ， $S_{n} = b_{1} + b_{2} + b_{3} + ⋯ + b_{n}$ ，若 $\frac{1}{T_{n}} + \frac{1}{a_{n}} = 1$ 且 $b_{n} = \frac{1}{T_{n} T_{n + 1}}$ 则下列说法正确的是（）

A、 $T_{12} = 12$ B、数列 ${a_{n}}$ 中的最大项为 $2$ C、 $S_{10} = \frac{10}{11}$ D、 $S_{n} < \frac{1}{2}$

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3、正整数 $1, 2, 3, ⋯, n$ 的倒数的和 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{n}$ 已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当 $n$ 很大时， $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{n} \approx l n n + γ$ .其中 $γ$ 称为欧拉-马歇罗尼常数， $γ \approx 0.577215664901 ⋯$ ，至今为止都不确定 $γ$ 是有理数还是无理数.设 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，用上式计算 $[1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{2024}]$ 的值为（）
（参考数据： $l n 2 \approx 0.69$ ， $l n 3 \approx 1.10$ ， $l n 10 \approx 2.30$ ）

A、10 B、9 C、8 D、7

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4、在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{n} > 0, a_{1} = 1, a_{2} = \sqrt{2}$ ，若对 $\forall n \in N^{*}, a_{n}^{2} + a_{n + 1}^{2} + a_{n + 2}^{2} = 10$ ，则 $a_{2024} =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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5、已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{5}{2} - \frac{1}{a_{n}}$ ，若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} - 2}$ ，则数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} =$ .

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6、函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上不恒为零的可导函数，对任意的x ， $y \in R$ 均满足： $(x + y) \cdot f (x) f (y) = x y \cdot f (x + y)$ ， $f (1) = 2$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (2) = 8$ C、 $f^{'} (1) = 4$ D、 $\sum_{k = 1}^{n} f (k) = (n - 1) \cdot 2^{n + 1} + 2$

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7、分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路.下图展示了如何按照图①的分形规律生长成一个图②的树形图，设图②中第n行白心圈的个数为 $a_{n}$ ，黑心圈的个数为 $b_{n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{3} = 5$ B、 $b_{3} = 2$ C、数列 ${a_{n} - b_{n}}$ 为等比数列 D、图②中第2023行的黑心圈的个数是 $\frac{3^{2022} - 1}{2}$

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8、已知数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 对任意 $n \in N^{*}$ 均有 $a_{n + 1} = a_{n} + b_{n}, b_{n + 1} = b_{n} + 2$ .若 $a_{1} = b_{1} = 3$ ，则 $a_{24} =$ （）

A、530 B、531 C、578 D、579

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9、如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，且只有1个球；第2堆有2层4个球，其中第1层有1个球，第2层有3个球；…；第n堆有n层共 $S_{n}$ 个球，第1层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…．已知 $S_{20} = 1540$ ，则 $\sum_{n = 1}^{20} n^{2} =$ （）

A、2290 B、2540 C、2650 D、2870

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10、已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} - 2$ ，则数列 ${\frac{a_{n}}{(a_{n} + 1) (a_{n} + 2)}}$ 的前100项和 $T_{100} =$ ．

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11、已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + 3 a_{2} + 9 a_{3} + … + 3^{n - 1} a_{n} = \frac{n + 1}{3}$ ，设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则满足 $S_{n} < k$ 的实数 $k$ 的最小值为．

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12、已知数列 ${a_{n}}$ ，下列结论正确的有（）

A、若 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + n + 1$ ，则 $a_{20} = 211$ B、若 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ ，则 $a_{n} = 2^{n} - 1$ C、若 $S_{n} = 3^{n} + \frac{1}{2}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 是等比数列 D、若 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则数列 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 为等差数列

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13、已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + 2 a_{2} + ⋯ + 2^{n - 1} a_{n} = n \cdot 2^{n}$ ，则（）

A、 $a_{n} = n + 1$ B、 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $\frac{n (n + 2)}{2}$ C、 ${{(- 1)}^{n} a_{n}}$ 的前100项和为100 D、 ${| a_{n} - 5 |}$ 的前30项和为357

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14、若数列 ${a_{n}} {b_{n}}$ 满足：对于任意正整数n ， $(a_{n} - b_{n}) (a_{n + 1} - b_{n + 1}) \leq 0$ ，则称 $a_{n}$ ， $b_{n}$ 互为交错数列．记正项数列 ${x_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知1， $\sqrt{S_{n} + 1}$ ， $x_{n}$ 成等差数列，则与数列 ${x_{n}}$ 互为交错数列的是（）

A、 $a_{n} = n + s i n n π$ B、 $b_{n} = n + c o s n π$ C、 $c_{n} = 2 n + s i n n π$ D、 $d_{n} = 2 n + c o s n π$

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15、若数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n (n + 1)$ ，则 $a_{6}$ 等于（）

A、10 B、11 C、12 D、13

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是公比大于0的等比数列．其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．若 $a_{1} = 1, S_{2} = a_{3} - 1$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = {\begin{array}{l} k, n = a_{k} \\ b_{n - 1} + 2 k, a_{k} < n < a_{k + 1} \end{array}$ ， $k \in N *, k \geq 2$ ．
（ⅰ）当 $k \geq 2, n = a_{k + 1}$ 时，求证： $b_{n - 1} \geq a_{k} \cdot b_{n}$ ；
（ⅱ）求 $\sum_{i = 1}^{S_{n}} b_{i}$ ．

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17、已知集合 $M \subseteq {x ∣ x = i^{n} + i^{- n}, n \in N_{+}}$ （其中 $i$ 为虚数单位），则满足条件的集合M的个数为.

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18、关于x的实系数方程 $x^{2} - 4 x + 5 = 0$ 和 $x^{2} + 2 m x + m = 0$ 有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m的取值范围是（）

A、 ${5}$ B、 ${- 1}$ C、 $(0, 1)$ D、 $(0, 1) ∪ {- 1}$

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19、已知关于 $x$ 得二次方程： $x^{2} + (2 + i) x + 4 a b + (2 a - b) i = 0 (a, b \in R)$ .

(1)、当方程有实数根时，求点 $(a, b)$ 的轨迹方程；

(2)、求方程实数根的取值范围.

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20、若 $i$ 为虚数单位，则计算 $i + 2 i^{2} + 3 i^{3} + \dots + 2021 i^{2021} =$ ．

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