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相关试卷

1、已知抛物线 $C : y = 2 x^{2}$ ，则抛物线 $C$ 的焦点到准线的距离是（）

A、 $4$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $2$ D、 $\frac{1}{2}$

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2、已知复数 $z = 2 i (1 - i) + 1$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{13}$ C、5 D、13

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3、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $A = \frac{5 π}{6}$ ， $D$ 是边 $B C$ 上的一点，且 $\frac{\sin ∠ B A D}{b} + \frac{\sin ∠ C A D}{c} = \frac{3}{2 a}$ .

(1)、证明： $A D = \frac{1}{3} a$ ；

(2)、若 $C D = 2 B D$ ，求 $\cos ∠ A D C$ .

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = \frac{4}{5}$ ，且满足 $a_{n + 1} = \frac{4 a_{n}}{a_{n} + 3}$ ，设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n}} - 1$ ．

(1)、求证：数列 $\{b_{n}\}$ 为等比数列；

(2)、若 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{n}} > 2024$ ，求满足条件的最小正整数 $n$ ．

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5、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $2 a sin A = (2 sin B + sin C) b + (2 sin C + sin B) c$ ．

(1)、求 $A$ 的大小；

(2)、若 $\vec{m} = (1, sin B), \vec{n} = (sin C, 1)$ ，求 $\vec{m} \cdot \vec{n}$ 的最大值．

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6、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $y = f (x) + e^{x}$ 是偶函数， $y = f (x) - 3 e^{x}$ 是奇函数，则 $f (x)$ 的最小值为．

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7、复数 $z$ 满足 $|z - 5| = |z - 1| = |z + i|$ ，则 $|z| =$ .

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8、已知 $x_{1}$ 是函数 $f (x) = x + 1 - ln (x + 2)$ 的零点， $x_{2}$ 是函数 $g (x) = x^{2} - 2 a x + 4 a + 4$ 的零点，且满足 $|x_{1} - x_{2}| \leq 1$ ，则实数 $a$ 的取值可能是（）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、 $2 - 2 \sqrt{2}$ D、 $4 - 4 \sqrt{2}$

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9、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} + 2 \sin x - \sin 2 x$ ，则下列结论正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、函数 $f (x)$ 在 $[- π, π]$ 上有2个零点 C、函数 $f (x)$ 的图象关于 $(π, \sqrt{3})$ 对称 D、函数 $f (x)$ 的最小值为 $- \sqrt{3}$

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10、（多选）若 $x > 1 > y$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $x - 1 > 1 - y$ B、 $x - 1 > y - 1$ C、 $x - y > 1 - y$ D、 $1 - x > y - x$

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11、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, △ A B C$ 的面积为 $S$ ，则 $\frac{S}{a^{2} + 4 b c}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{16}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{8}$ C、 $\frac{9 \sqrt{15}}{16}$ D、 $\frac{9 \sqrt{15}}{32}$

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12、已知定义在R上的可导函数 $f (x)$ ，对 $\forall x \in R$ ，都有 $f (- x) = e^{2 x} f (x)$ ，当 $x > 0$ 时 $f (x) + f^{'} (x) < 0$ ，若 $e^{2 a - 1} f (2 a - 1) \leq e^{a + 1} f (a + 1)$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $[0, 2]$ B、 $(- \infty, - 1] \cup [2, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0] \cup [2, + \infty)$ D、 $[- 1, 2]$

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13、已知向量 $\vec{a} = (1, 0), \vec{b} = (1, 2 \sqrt{3})$ ，则向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $(2, 2 \sqrt{3})$ B、2 C、 $\vec{a}$ D、 $2 \vec{a}$

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14、函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 0, x = 0 \\ \frac{x - sin x}{ln |x|}, x \neq 0 \end{matrix}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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15、已知 $y = f^{'} (x)$ 是 $y = f (x)$ 的导函数，则“ $f^{'} (x_{0}) = 0$ ”是“ $x_{0}$ 是函数 $y = f (x)$ 的一个极值点”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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16、设集合 $A = \{x \in N |- 2 < x \leq 1\}$ ， $B = \{x |\lg (x + 2) < 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{- 1, 1\}$ D、 $\{- 1\}$

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17、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = ∠ B C D$ ， $B D = 3$ ， $A D = 2$ ， $∠ B D C = \frac{π}{4}$ .

(1)、若 $∠ A D C = \frac{7π}{12}$ ，求 $\sin ∠ B C D$ ；

(2)、若 $A B = \sqrt{2} B C$ ， $∠ B A D = ∠ B C D = α$ ，求 $12 sin 2 α - 5 cos 2 α$ .

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18、 $△ A B C$ 的内角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知 $2 c \cos A = 2 b - a$ .

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $D$ 是边 $B C$ 的中点， $b = 5, A D = \sqrt{21}$ ，求 $c$ .

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19、已知 $z_{1} = a + 2 i$ ， $z_{2} = 3 - 4 i$ （ $a \in R, i$ 为虚数单位）.

(1)、若 $z_{1} \cdot z_{2}$ 是纯虚数，求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $z_{1} \cdot z_{2}$ 在复平面上对应的点在第二象限，且 $|z_{1}| \leq \sqrt{13}$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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20、在 $△ A B C$ 中， $\sin^{2} B + \sin^{2} C - \sin^{2} A = \sin B \sin C$ ，点 $D$ 在线段 $B C$ 上，且 $B C = 3 B D$ ， $A D = 2$ ，则 $∠ B A C =$ ； $△ A B C$ 面积的最大值为.

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