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相关试卷

1、在外接圆半径为 $r$ 的 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，若 $\frac{b}{\cos B} + \frac{c}{\cos C} = \frac{r}{\cos B \cos C}$ ，则 $A =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{5 π}{6}$ C、 $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$

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2、已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，点 $A (x_{0}, 0)$ ， $B (- x_{0}, 0)$ ，且 $x_{0} > 0$ ，则“ $E$ 上存在点 $G$ 使 $A G ⊥ B G$ ”是“以 $A B$ 为直径的圆与椭圆 $E$ 存在公共点的（）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不必要也不充分

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3、设平面向量 $\vec{a} = (4, 2)$ ， $\vec{b} = (m, 1)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不能作为平面向量的一组基底，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $2$ B、 $10$ C、 $- 6$ D、 $0$

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4、掷出两枚质地均匀的骰子，记事件 $A =$ “第一枚点数小于3”，事件 $B =$ “第二枚点数大于4”，则 $A$ 与 $B$ 关系为（）

A、互斥 B、互为对立 C、相互独立 D、相等

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5、已知集合 $A = \{x |y = \sqrt{2 - x}, y \in R\}$ ， $B = \{x |x > - 2, x \in Z\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ B、 $\{- 1, 0, 1\}$ C、 $N^{*}$ D、 $N$

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6、 $\sin (x^{2} + 7)$ 的最大值是（）

A、 $0$ B、 $1$ C、 $\frac{π}{7}$ D、 $7$

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7、已知函数 $f (x) = \frac{2^{x}}{2^{x - 1} + 1} + a x + b {(x - 1)}^{3}$ （其中 $a, b \in R$ ）．

(1)、当 $a > 0, b = 0$ 时，证明： $f (x)$ 是增函数；

(2)、证明：曲线 $y = f (x)$ 是中心对称图形；

(3)、已知 $a \neq 0$ ，设函数 $g (x) = \frac{2^{x}}{2^{x - 1} + 1} + e^{x} - f (x) + b {(x - 1)}^{3} + (b - 1)$ ，若 $g (x) \geq 0$ 对任意的 $x \in R$ 恒成立，求 $\frac{b - a}{a}$ 的最小值．

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8、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x}}$ ．

(1)、求函数 $y = f (2 x) - f (x), x \in [0, 1]$ 的值域；

(2)、若不等式 $f (2 x) \leq k f (x)$ 在 $x \in R$ 上恒成立，求 $k$ 的取值范围；

(3)、当 $x \in [- ln a^{2}, - ln b^{2}] (a > b > 0)$ 时，函数 $g (x) = m f (x) + 1$ 的值域为 $[2 - 3 a, 2 - 3 b]$ ，求正数 $m$ 的取值范围．

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9、某制药厂临床试验一批新药的疗效（ $α$ -因子是主要成分），根据国家规定：服用新药后100mL血液中 $α$ -因子含量达到 $20 \sim 79 mg$ 认定为有效Ⅰ级，80mg及以上认定为有效Ⅱ级，20mg以下认定为无效．经过大量试验得知，服用该药后一开始血液中 $α$ -因子的浓度呈线性增长，当其上升到 $1.2 mg / mL$ 时，血液中 $α$ -因子的浓度将会以每小时 $20 %$ 的速度减少（函数模型如图）．

(1)、请写出服用该药后血液中 $α$ -因子浓度 $y$ （单位： $mg / mL$ ）随时间 $x$ （单位：小时）变化的关系式；

(2)、服用该药后，至少要经过几个小时血液中 $α$ -因子才能降至无效？（结果取整数）．
（参考数据： $lg 2 \approx 0.30, lg 3 \approx 0.48$ ）

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10、已知函数 $f (x) = t ln x + \frac{1}{x} + (1 - t) x (t \in R)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 存在极小值 $f (x_{0})$ ，讨论 $f (x_{0})$ 与 $t - 2$ 的大小关系.

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11、定义区间 $(m, n)$ 、 $[m, n]$ 、 $(m, n]$ 、 $[m, n)$ 的长度均为 $n - m$ ，其中 $n > m$ ．

(1)、若关于 $x$ 的不等式 $x^{2} + b x + 1 \leq 0$ 的解集区间长度为2，求 $b$ 的值；

(2)、若 $a > b > c$ 且 $a + b + c = 0$ ，求关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c < 0$ 的解集区间长度范围．

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12、已知函数 $f (x) = \frac{x}{x + 2} - a ln (x + 1) (a > 0)$ 有3个零点，则 $a$ 的取值范围为．

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13、设 $a, b \geq 0$ 且 $2 a + b + 2 a b = 1$ ，则 $a + b$ 的最小值为．

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14、已知 $y = f (x)$ 为幂函数，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, \sqrt{2})$ 处的切线的方程为．

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15、设 $a > 0$ ，定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (a) = 1$ ，且 $\forall x, y \in R, f (x + y) = f (x) f (a - y) + f (y) f (a - x)$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (2 a - x) = f (x)$ C、 $f (x)$ 为偶函数 D、 $f (2025 a) = 1$

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16、已知函数 $f (x) = \sqrt{2025 - x}, g (x) = \sqrt{x - 2024}$ ，设 $2024 < x_{1} < x_{2} < 2025$ ，则（）

A、 $\sqrt{x_{1}} - \sqrt{x_{2}} < g (x_{1}) - g (x_{2})$ B、 $\frac{f (x_{1})}{g (x_{1})} > \frac{f (x_{2})}{g (x_{2})}$ C、 $1 < f (x_{1}) + g (x_{1}) \leq \sqrt{2}$ D、 $\frac{g (x_{1}) + g (x_{2})}{2} > g (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$

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17、对于集合 $A$ ，若 $\forall x \in A, 2 - x \in A$ ，则称 $A$ 为对偶互存集，则下列为对偶互存集的是（）

A、 $\{- 1, 0, 1, 2, 3\}$ B、 $\{x |x = 2 k - 1, k \in Z\}$ C、 $\{y |y = \frac{1}{x - 1}\}$ D、 $\{y |y = 1 + sin x\}$

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18、已知 $a = sin \frac{1}{3}, b = ln \frac{3}{2}, c = 3^{- \frac{1}{2}}$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < c < b$ C、 $a < b < c$ D、 $b < a < c$

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19、已知关于 $x$ 的方程 $|a x + 3| = - a x^{2} - 6 x - a$ 有两个不相等的实数解，则正实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 3)$ B、 $(0, \frac{9}{2})$ C、 $[1, 5)$ D、 $[2, 6 \sqrt{3})$

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20、已知矩形 $A B C D$ 的两个顶点 $A, D$ 在 $x$ 轴上，另两个顶点 $B, C$ 在函数 $y = 4 - x^{2} (- 2 < x < 2)$ 的图象上，则当矩形 $A B C D$ 的面积最大时， $|A B| =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{8}{3}$

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