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相关试卷

1、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，右焦点为 $F$ ，已知 $|A_{1} F| = 3, |A_{2} F| = 1$ ．

(1)、求椭圆的方程和离心率；

(2)、点 $P$ 在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线 $A_{2} P$ 交 $y$ 轴于点 $Q$ ，若三角形 $A_{1} P Q$ 的面积是三角形 $A_{2} P F$ 面积的二倍，求直线 $A_{2} P$ 的方程．

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2、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + (2 a - 2) x - 4 a \ln x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设 $a = 1$ ，若存在 $x_{1}, x_{2} \in (2, + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，使不等式 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | \leq k | \ln x_{1} - \ln x_{2} |$ 成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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3、在① $\tan A (1 + \frac{2}{a \cos B}) = \tan B (\frac{1}{\cos A} - 1)$ ， ② $a \cos B = b (\frac{2}{3} - \cos A)$ 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答.
问题：在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， ${(\vec{A C})}^{2} + \vec{A C} \cdot \vec{C B} = - 6$ ， $\sin A = \frac{\sqrt{15}}{4}$ ，且_____________，求 $a$ 的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 6, A C = 4, B C = 2 \sqrt{7}, D, E$ 分别是边AB，AC上的点， $A E = 2$ ，且 $\vec{A D} \cdot \vec{A E} = 2$ ，点 $P$ 是线段DE的中点，且 $\vec{P A} = x \vec{P B} + y \vec{P C}$ ，则 $\frac{x}{y} =$ .

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5、已知函数 $f (x) = x e^{1 - x}$ ，若方程 $f (x) + \frac{1}{f (x) + 1} = a$ 有三个不相等的实数解，则实数a的取值范围为（）

A、 $(1, \frac{3}{2})$ B、 $(- 3, - 1) \cup (- 1, 1)$ C、 $(1, 3)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (\frac{3}{2}, + \infty)$

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6、已知 $a = \frac{e^{\frac{1.1}{3}}}{1.1}$ ， $b = e^{\frac{1}{3}}$ ， $c = \frac{13}{11}$ ，则有（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > b > a$ C、 $c > a > b$ D、 $b > a > c$

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7、设函数 $f (x)$ 的定义域为R ， $f (x + 1) - 3$ 为奇函数， $f (x + 2)$ 为偶函数，当 $x \in [1, 2]$ 时， $f (x) = a x^{2} + b$ ．若 $f (- 1) + f (0) = 1$ ，则 $f (\frac{2023}{2}) =$ （）

A、 $- \frac{37}{12}$ B、 $\frac{11}{12}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{2}{3}$

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8、定义：如果集合 $U$ 存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{k} (k \in N^{*}),$ 且 $A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{k} = U$ ，那么称子集族 $\{A_{1}, A_{2}, \dots, A_{k}\}$ 构成集合 $U$ 的一个 $k$ 划分.已知集合 $I = {x \in N | x^{2} - 6 x + 5 < 0}$ ，则集合 $I$ 的所有划分的个数为（）

A、3 B、4 C、14 D、16

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9、命题“ $\forall x > 0$ ， $x^{2} - x + 1 > 0$ ”的否定为（）

A、 $\forall x > 0$ ， $x^{2} - x + 1 \leq 0$ B、 $\forall x \leq 0$ ， $x^{2} - x + 1 \leq 0$ C、 $\exists x > 0$ ， $x^{2} - x + 1 \leq 0$ D、 $\exists x \leq 0$ ， $x^{2} - x + 1 \leq 0$

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10、对于数列 $\{x_{n}\}$ ，若 $\exists M > 0$ ，对任意的 $n \in N^{*}$ ，有 $|x_{n}| \leq M$ ，则称数列 $\{x_{n}\}$ 是有界的.当正整数n无限大时，若 $x_{n}$ 无限接近于常数a，则称常数a是数列 $\{x_{n}\}$ 的极限，或称数列 $\{x_{n}\}$ 收敛于a，记为 $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = a$ .单调收敛原理：“单调有界数列一定收敛”可以帮助我们解决数列的收敛性问题.

(1)、证明：对任意的 $x \geq - 1$ ， $n \in N^{*}$ ， ${(1 + x)}^{n} \geq 1 + n x$ 恒成立；

(2)、已知数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式为： $a_{n} = {(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ ， $b_{n} = {(1 + \frac{1}{n})}^{n + 1}$ ， $n \in N^{*}$ .
（i）判断数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的单调性与有界性，并证明；
（ii）事实上，常数 $e = \lim_{n \to + \infty} a_{n} = \lim_{n \to + \infty} b_{n}$ ，以 $e$ 为底的对数称为自然对数，记为 $\ln x$ .证明：对任意的 $n \in N^{*}$ ， $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k + 1} < \ln (n + 1) < \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}$ 恒成立.

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11、已知函数 $f (x) = x (e^{x} - a) - a \ln x$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = e$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间与极值；

(2)、若函数 $f (x)$ 有2个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，满足 $x_{2} e^{x_{2}} > 2 x_{1} e^{x_{1}}$ ，求a的取值范围.

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12、师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决定为该地改良某种珍稀水果树，增加产量，提高收入，调研过程中发现：此珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与投入的成本 $30 x$ （单位：元）满足如下关系： $W (x) = \{\begin{matrix} 3 x^{2} + \frac{34}{3}, 0 \leq x \leq 2, \\ \frac{32 x}{x + 1} + x, 2 < x \leq 5. \end{matrix}$ ，已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.水果树单株获得的利润为 $f (x)$ （单位：元）.

(1)、求 $f (x)$ 的函数关系式；

(2)、当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大?最大利润是多少?

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13、已知函数 $f (x) = e^{2 x} + e^{x} - x$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、当 $x \in [- 1, 0]$ 时，求函数 $f (x)$ 的最大值与最小值.

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + 2 (n \in N^{*})$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 为单调递增等比数列， $b_{2} = 2$ ，且 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $b_{3} - 1$ 成等差数列.

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = a_{n} + \log_{2} b_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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15、对于函数 $f (x)$ ，若在定义域内存在实数x满足 $f (- x) = - f (x)$ ，则称函数 $f (x)$ 为“局部奇函数”.若函数 $f (x) = 49^{x} - m \cdot 7^{x + 1} - 2$ 在定义域 $R$ 上为“局部奇函数”，则实数m的取值范围为.

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16、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} 3^{|x + 2|} - 1, x < 0 \\ \ln (x^{2} + a x + 3), x \geq 0 \end{cases}$ ， $f (f (- 3)) = 0$ ，则实数a的值为.

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17、已知某扇形的圆心角为120°，弧长为 $2 πcm$ ，则此扇形的面积为 ${cm}^{2}$ .

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18、定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ ，满足 $f (x) = - f (2 - x)$ ，当 $x \in (- 1, 0]$ 时， $f (x) = - x - 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (1) = 0$ B、 $f (\frac{2027}{2}) = \frac{1}{2}$ C、函数 $y = f (x) - {(x - 1)}^{3}$ 的所有零点之和为5 D、 $f (e^{0.1} - 1) > f (\ln \frac{1}{1.1})$

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19、已知 $\sin (\frac{π}{3} + α) = \frac{2}{3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\cos (α - \frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\cos (2 α - \frac{π}{3}) = - \frac{1}{9}$ C、 $\cos (α + \frac{5 π}{6}) = - \frac{2}{3}$ D、若 $α \in (0, π)$ ， $\cos α = \frac{2 \sqrt{3} - \sqrt{5}}{6}$

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20、若 $b > a > 0$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $a < \sqrt{a b} < \frac{a + b}{2} < b$ B、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、 $\frac{\log_{2} a + \log_{2} b}{2} < \log_{2} \frac{a + b}{2}$ D、 $2^{b - a} > {(b - a)}^{2}$

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