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相关试卷

1、如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $6, E$ 是 $A B$ 的中点， $F$ 是 $B C$ 边上靠近点 $B$ 的三等分点， $A F$ 与 $D E$ 交于点 $M$ ．

(1)、求 $∠ E M F$ 的余弦值．

(2)、若点 $P$ 自 $A$ 点逆时针沿正方形的边运动到 $C$ 点，在这个过程中，是否存在这样的点 $P$ ，使得 $E F ⊥ M P$ ？若存在，求出 $M P$ 的长度，若不存在，请说明理由．

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2、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且向量 $\vec{m} = (a ， - b)$ 与

$\vec{n} = (\sqrt{3} \cos A, \sin B)$ 平行.

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{7}$ ， $b + c = 3$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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3、已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是夹角为 $\frac{2 π}{3}$ 的两个单位向量，若 $\vec{a} = \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ 与 $\vec{b} = \vec{e_{1}} + 3 \vec{e_{2}}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值为.

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4、已知点 $A (1, - 1), B (- 2, 3)$ ，则与向量 $\vec{A B}$ 方向相同的单位向量为.

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5、下列说法正确的是（）

A、若非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ B、若非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ C、已知P是△ $A B C$ 所在平面内一点，若 $\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} = \vec{0}$ ，则点P是△ $A B C$ 的内心 D、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 1, 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量是 $\frac{1}{2} \vec{b}$

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6、 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a = 2$ ， $A = 30 °$ ，若三角形有唯一解，则整数 $b$ 可以为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7、如图，塔垂直于水平面，他们选择了与灵运塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得 $A B = 50$ 米，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为 $45^{\circ}$ 和 $30^{°}$ ， $∠ A D B = 30^{°}$ ，则灵运塔的高度CD是（）

A、45米 B、50米 C、55米 D、60米

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8、在非钝角 $△ A B C$ 中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知 $3 a = 2 \sqrt{3} b \sin A$ ，且 $\cos A = \cos C$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形

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9、已知向量 $\vec{a} = (\frac{1}{2}, - 1)$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ ，则与向量 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 共线的向量的坐标可以是（）

A、 $(- 3, 1)$ B、 $(- 8, 3)$ C、 $(- 9, 4)$ D、 $(3, - 2)$

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10、下列各说法中，正确的是（）

A、若 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ 或 $\vec{a} = - \vec{b}$ B、与非零向量 $\vec{a}$ 共线的单位向量是 $\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ C、长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量 D、若 $|\vec{a}| > |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} > \vec{b}$

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11、在 $△ A B C$ 中，若 $a^{2} + b^{2} - c^{2} = a b$ ，则角 $C$ 的值是（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $120 °$

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12、已知空间中三个不同的点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ，则下列等式成立的是（）

A、 $\vec{A B} + \vec{A C} = \vec{B C}$ B、 $\vec{A B} - \vec{A C} = \vec{C B}$ C、 $\vec{A B} + \vec{A C} = \vec{C B}$ D、 $\vec{A B} - \vec{A C} = \vec{B C}$

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13、已知函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x} - a \ln x + 1$ ， $a \in R$

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 在 $[\frac{1}{e}, e]$ 上的最大值；

(2)、求 $f (x)$ 的零点个数．

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14、某工艺品如图所示分成 $A, B, C, D, E$ 五个区域.现对此工艺品进行着色，要求相邻区域不能使用同一种颜色.现有5种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（用数学作答）.

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15、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{4} = 4, S_{4} = 10$ ，则数列 $\{\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}\}$ 的前2019项和为．

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16、已知函数 $f (x) = 4 x^{2} - 3 x f^{'} (1)$ ，则 $f' (1) =$ .

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17、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F,$ 经过点 $F$ 的直线 $l$ 的倾斜角为 $45 °,$ 且直线 $l$ 交该椭圆于 $A, B$ 两点，若 $\vec{A F} = 2 \vec{F B}$ ，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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18、设直线 $y = t$ 与曲线 $y = x {(x - 3)}^{2}$ 的三个交点分别为 $A (a, t)$ 、 $B (b, t)$ 、 $C (c, t)$ ，且 $a < b < c$ .现给出如下结论：① $a b c$ 的取值范围是 $(0, 4)$ ；② $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ 为定值；③ $c - a$ 有最小值无最大值.其中正确结论的个数为

A、 $0$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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19、设等比数列{a_n}的前n项和为S_n ，若 $\frac{S_{2020}}{S_{1010}}$ ＝3，则 $\frac{S_{3030}}{S_{1010}}$ ＝（）

A、9 B、7 C、5 D、4

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20、函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ 在区间 $[- 1, 1]$ 上的最大值是（）

A、-4 B、-2 C、0 D、2

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