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相关试卷

1、已知四个点 $P_{1} (1, 1), P_{2} (0, \sqrt{3}), P_{3} (- 1, \frac{3}{2}), P_{4} (1, \frac{3}{2})$ 中恰有三个点在椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上.

(1)、判断哪个点不在椭圆 $C$ 上，并求出椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设椭圆 $C$ 的左右顶点分别是 $A$ 、 $B$ ，点 $P$ 是直线 $x = 4$ 上一点，直线 $P A$ 、 $P B$ 与椭圆 $C$ 的另一个交点分别为 $M$ 、 $N$ ，求证：直线 $M N$ 过定点.

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D, A B ⊥ A D, A D / /$ $B C$ ， $P A = B C = 3, A B = A D = 2$ ， $P B = \sqrt{13} . E$ 为 $P D$ 中点，点 $F$ 在 $P C$ 上，且 $P C = 3 F C$ .

(1)、求证： $A B ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求二面角 $F - A E - D$ 的余弦值；

(3)、线段 $A C$ 上是否存在点 $Q$ ，使得 $D Q / /$ 平面 $F A E$ ？说明理由.

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3、公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系中 $A (- 2, 0), B (1, 0)$ 且 $|P A| = 2 |P B|$ .

(1)、求点P的轨迹方程；

(2)、若点P在（1）的轨迹上运动，点M为AP的中点，求点M的轨迹方程；

(3)、若点 $P (x, y)$ 在（1）的轨迹上运动，求 $t = \frac{y + 4}{x - 6}$ 的取值范围.

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4、为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为 $\frac{4}{5}$ ， $\frac{3}{5}$ ；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为 $\frac{2}{3}$ ， $\frac{3}{4}$ ，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.

(1)、甲在比赛中恰好赢一轮的概率；

(2)、若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.

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5、在平面直角坐标系中，已知三点 $A (- 3, 4), B (3, 2), C (1, 0)$ .

(1)、若直线 $l_{1}$ 过点 $C (1, 0)$ 且与直线BC垂直，求直线 $l_{1}$ 的方程；

(2)、若直线 $l_{2}$ 经过点 $A$ ，且在 $x$ 轴上的截距是 $y$ 轴上截距的 $2$ 倍，求直线 $l_{2}$ 的方程.

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6、已知 $A (- 2, 0)$ ， $B (2, 0)$ ，若圆 ${(x - a - 1)}^{2} + {(y - 3 a + 2)}^{2} = 4$ 上存在点P满足 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 5$ ，则 $a$ 的取值范围是

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7、在一个建筑工地上，有一个用来储存材料的圆台形容器．已知该圆台形容器的上底面圆的直径是6米，下底面圆的直径是12米，母线长为5米，不考虑该圆台形容器壁的厚度，则该圆台形容器的容积是立方米．

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8、已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 3, |\vec{b}| = 5, \vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ .

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9、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 棱长为 $2, M N$ 为正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内切球 $O$ 的直径，点 $P$ 为正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 表面上一动点，则下列说法正确的是（）

A、当 $P$ 为 $B C$ 中点时， $A B_{1}$ 与 $D P$ 所成角余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ B、当 $P \in$ 面 $B C C_{1} B_{1}, V_{P - A C D_{1}} = \frac{4}{3}$ 时，点 $P$ 的轨迹长度为 $2 \sqrt{2}$ C、 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的取值范围为 $[0, 2]$ D、 $A M$ 与 $A C_{1}$ 所成角的范围为 $[0, \frac{π}{3}]$

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10、下面四个结论不正确的是（）

A、已知 $\vec{a} = (1, 1, x)$ ， $\vec{b} = (- 3, x, 9)$ ，若 $x < \frac{3}{10}$ ，则 $\vec{a} 和 \vec{b}$ 的夹角为钝角 B、已知 $\vec{a} = (2, 0, - 1)$ ， $\vec{b} = (3, - 2, 5)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量是 $(\frac{2}{5}, 0, - \frac{1}{5})$ C、若直线 $a x + b y + c = 0$ 经过第三象限，则 $a b > 0$ ， $b c < 0$ D、设 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间向量的一组基底，则 $\{\vec{a} - \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{a} + \vec{c}\}$ 也是空间向量的一组基底

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11、已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为 $2 c$ ，若直线 $k x - 3 y + (k + 8) c = 0$ 恒与椭圆 $Γ$ 有两个不同的公共点，则椭圆 $Γ$ 的离心率范围为（）

A、 $(0, \frac{1}{3})$ B、 $(0, \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{3}, 1)$ D、 $(\frac{1}{2}, 1)$

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12、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $(3 a + b) \cos C + c \cos B = 0$ ，且 $c^{2} - a^{2} - b^{2} = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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13、已知正三棱锥 $S - A B C$ 的所有顶点都在球 $O$ 的球面上，棱锥的底面是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的正三角形，侧棱长为 $2 \sqrt{5}$ ，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $10 π$ B、 $25 π$ C、 $100 π$ D、 $125 π$

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14、已知点 $D$ 在 $△ A B C$ 确定的平面内， $O$ 是平面 $A B C$ 外任意一点，正数 $x, y$ 满足 $\vec{D O} = x \vec{O A} + 2 y \vec{O B} - 3 \vec{O C}$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{9}{2}$ C、 $1$ D、 $2$

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15、在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，用计算机产生 $1 \sim 5$ 之间的随机数，当出现 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 时表示一局比赛甲获胜，当出现4、5时表示一局比赛乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，现产生20组随机数，结果如下：
423   123   423   344   114   453   525   332   152   342
534   443   512   541   125   432   334   151   314   354
则估计在本次比赛中甲获得冠军的概率是（     ）

A、0.35 B、0.55 C、0.6 D、0.65

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16、“ $a = 3$ ”是“直线 $l_{1} : (a - 1) x + 2 y + 1 = 0$ 与直线 $l_{2} : 3 x + a y - 1 = 0$ 平行”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、已知 $m, n$ 表示两条不同直线， $α$ 表示平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $m ∥ α$ ， $n ∥ α$ ，则 $m ∥ n$ B、若 $m ∥ α$ ， $m 丄 n$ ，则 $n ⊥ α$ C、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m ∥ n$ D、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ n$ ，则 $n ∥ α$

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18、已知复数 $z (2 - i) = 4 + 3 i$ ，则 $z$ 的共轭复数是（）

A、 $1 + 2 i$ B、 $- 1 + 2 i$ C、 $1 - 2 i$ D、 $- 1 - 2 i$

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19、已知函数 $y = f (x)$ ，若存在常数 $k (k > 0)$ ，使得对定义域 $D$ 内的任意 $x_{1}, x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ ，都有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| \leq k |x_{1} - x_{2}|$ 成立，则称函数 $y = f (x)$ 是定义域 $D$ 上的“ $k -$ 利普希兹条件函数”.

(1)、判断函数 $y = x^{2} + 1$ 是否为定义域 $[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ 上的“ $1 -$ 利普希兹条件函数”，若是，请证明：若不是，请说明理由；

(2)、若函数 $y = \sqrt{x}$ 是定义域 $[1, 4]$ 上的“ $k -$ 利普希兹条件函数”，求常数 $k$ 的最小值；

(3)、是否存在实数 $m$ ，使得 $y = \frac{m}{x - 1}$ 是定义域 $[2, + \infty)$ 上的“ $1 -$ 利普希兹条件函数”，若存在，求实数 $m$ 的取值范围，若不存在，请说明理由.

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20、随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度 $v$ （单位：千米/小时）和车流密度 $x$ （单位：辆/千米）所满足的关系式： $v = \{\begin{matrix} 60, 0 < x \leq 30 \\ 80 - \frac{k}{150 - x}, 30 < x \leq 120 \end{matrix} (k \in R)$ .研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时.

(1)、若车流速度 $v$ 不小于40千米/小时，求车流密度 $x$ 的取值范围；

(2)、隧道内的车流量 $y$ （单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足 $y = x \cdot v$ ，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.（参考数据： $\sqrt{5} \approx 2.236$ ）

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