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相关试卷

1、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (0, 1)$ ， $B (0, 4)$ .若直线 $2 x - y + c = 0$ 上存在点 $P$ ，使得 $P B = 2 P A$ ，则实数 $c$ 的取值范围是（）

A、 $(- \sqrt{5}, \sqrt{5})$ B、 $[- \sqrt{5}, \sqrt{5}]$ C、 $(- 2 \sqrt{5}, 2 \sqrt{5})$ D、 $[- 2 \sqrt{5}, 2 \sqrt{5}]$

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2、已知点 $M (3, 0)$ 关于直线 $x - y - 1 = 0$ 的对称点为 $P$ ，经过点 $P$ 作直线 $l$ ，若直线 $l$ 与连接 $A (- 7, 1)$ ， $B (5, 8)$ 两点的线段总有公共点，则直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{1}{8}, \frac{3}{2}]$ B、 $(- \infty, \frac{1}{8}] \cup [\frac{3}{2}, + \infty)$ C、 $[- \frac{1}{8}, \frac{3}{2}]$ D、 $(- \infty, - \frac{1}{8}] \cup [\frac{3}{2}, + \infty)$

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3、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M为AC与BD的交点，若 $\vec{A_{1} B_{1}} = \vec{a}$ ， $\vec{A_{1} D_{1}} = \vec{b}$ ， $\vec{A_{1} A} = \vec{c}$ ，则下列向量中与 $\vec{B_{1} M}$ 相等的向量是（）．

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

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4、设全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x |2^{x} > 1\}$ ， $B = \{x |y = \ln (2 - x)\}$ ，则图中阴影部分表示的集合为（）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $(0, 2)$ C、 $[2, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0) \cup [2, + \infty)$

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5、在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加：停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量 $Q$ 随时间 $t$ 变化的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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6、已知 $z_{1} = (a + 1) - 2 i$ 为纯虚数，则 $z_{2} = a + i$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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7、记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和， $b_{n}$ 为数列 $\{S_{n}\}$ 的前n项积，已知 $\frac{2}{S_{n}} + \frac{1}{b_{n}} = 2$ ．
（1）证明：数列 $\{b_{n}\}$ 是等差数列；
（2）求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式．

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8、复数方程 $z^{2} = \bar{z}$ 解的个数为（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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9、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = 3 a_{n} - 2$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = a_{n} + n$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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10、如图，空间四边形OABC中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，点M在OA上，且 $\vec{O M} = \frac{2}{3} \vec{O A}$ ，点N为BC中点，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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11、已知焦点在 $y$ 轴上的椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ ，焦距为 $2 \sqrt{2}$ ，则该椭圆的方程为（）

A、 $x^{2} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{7} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{28} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{7} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

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12、已知有限数列 $A : a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}$ 为单调递增数列．若存在等差数列 $B : b_{1}, b_{2}, \dots, b_{m + 1}$ ，对于A中任意一项 $a_{i}$ ，都有 $b_{i} \leq a_{i} < b_{i + 1}$ ，则称数列A是长为m的 $Ω$ 数列．
（1）判断下列数列是否为 $Ω$ 数列（直接写出结果）：
①数列1，4，5，8；②数列2，4，8，16．
（2）若 $a < b < c (a, b, c \in R)$ ，证明：数列a，b，c为 $Ω$ 数列；
（3）设M是集合 ${x \in N | 0 \leq x \leq 63}$ 的子集，且至少有28个元素，证明：M中的元素可以构成一个长为4的 $Ω$ 数列．

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13、已知函数 $f (x) = x^{2} - (2 a + 1) x + a ln x, a \in R$ .

(1)、若 $a = 0$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $P (2, f (2))$ 处的切线方程.

(2)、若 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极值，求 $f (x)$ 的极值.

(3)、若 $f (x)$ 在 $[1, e]$ 上的最小值为 $- 2 a$ ，求 $a$ 的取值范围.

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14、《中华人民共和国体育法》规定，国家实行运动员技术等级制度，下表是我国现行《田径运动员技术等级标准》（单位：m）（部分摘抄）：
项目
国际级运动健将
运动健将
一级运动员
二级运动员
三级运动员
男子跳远
8.00
7.80
7.30
6.50
5.60
女子跳远
6.65
6.35
5.85
5.20
4.50
在某市组织的考级比赛中，甲、乙、丙三名同学参加了跳远考级比赛，其中甲、乙为男生，丙为女生，为预测考级能达到国家二级及二级以上运动员的人数，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）：
甲：6.60，6.67，6.55，6.44，6.48，6.42，6.40，6.35，6.75，6.25；
乙：6.38，6.56，6.45，6.36，6.82，7.38；
丙：5.16，5.65，5.18，5.86．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立，

(1)、估计甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的概率；

(2)、设X是甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的总人数，估计X的数学期望 $E (X)$ ；

(3)、在跳远考级比赛中，每位参加者按规则试跳6次，取6次试跳中的最好成绩作为其最终成绩本次考级比赛中，甲已完成6次试跳，丙已完成5次试跳，成绩（单位：m）如下表：
第1跳
第2跳
第3跳
第4跳
第5跳
第6跳
甲
6.50
6.48
6.47
6.51
6.46
6.49
丙
5.84
5.82
5.85
5.83
5.86
a
若丙第6次试跳的成绩为a，用 $s_{1}^{2}, s_{2}^{2}$ 分别表示甲、丙试跳6次成绩的方差，当 $s_{1}^{2} = s_{2}^{2}$ 时，写出a的值．（结论不要求证明）

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15、已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B B_{1} = 2$ ， $D$ 是 $B C$ 的中点， $∠ B_{1} B A = 60^{\circ}$ ， $B_{1} D ⊥ A B$ .
（1）证明： $A B ⊥ A C$ ；
（2）若侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 是正方形，求平面 $A B B_{1} A_{1}$ 与平面 $A D C_{1}$ 夹角的余弦值.

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16、在 $△ A B C$ 中， $b^{2} + c^{2} - a^{2} = b c$ ．

(1)、求 $∠ A$ ；

(2)、再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使 $△ A B C$ 存在且唯一确定，求 $△ A B C$ 的面积．
条件①： $\cos B = \frac{11}{14}$ ；
条件②： $a + b = 12$ ；
条件③： $c = 12$ ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中各项均为正数，且 $a_{n + 1}^{2} - a_{n + 1} = a_{n} (n = 1, 2, 3, \dots)$ ，给出下列四个结论：
①对任意的 $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n} > 1$ ；
②数列 $\{a_{n}\}$ 可能为常数列；
③若 $0 < a_{1} < 2$ ，则当 $n \geq 2$ 时， $a_{1} < a_{n} < 2$ ；
④若 $a_{1} > 2$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 为递减数列，
其中正确结论是.

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18、已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上的点P到抛物线的焦点F的距离为6，则以线段PF的中点为圆心， $|P F|$ 为直径的圆被x轴截得的弦长为．

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19、已知向量 $\vec{b} = (4, 2)$ ，若向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{b}$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不共线，请写出一个符合条件的向量 $\vec{a}$ 的坐标.

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20、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + x, x ⩽ 0, \\ \frac{\ln x}{x}, x > 0, \end{array}$ ， $g (x) = f (x) - a x$ ，若 $g (x)$ 有4个零点，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0, \frac{2}{e})$ B、 $(0, \frac{1}{2 e})$ C、 $(\frac{2}{e}, 1)$ D、 $(\frac{1}{2 e}, 1)$

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项目	国际级运动健将	运动健将	一级运动员	二级运动员	三级运动员
男子跳远	8.00	7.80	7.30	6.50	5.60
女子跳远	6.65	6.35	5.85	5.20	4.50

	第1跳	第2跳	第3跳	第4跳	第5跳	第6跳
甲	6.50	6.48	6.47	6.51	6.46	6.49
丙	5.84	5.82	5.85	5.83	5.86	a