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相关试卷

1、已知棱长为1的正方体内接于球O，在球O与正方体之间放入一个小正方体，则小正方体的棱长的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

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2、已知抛物线 $C_{1} : y^{2} = 2 p x$ 过点 $(1, 2)$ ，圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 2 x = 0.$ 如图，过圆心 $C_{2}$ 的直线l与抛物线 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 分别交于P，Q，M，N，则 $|P M| + 4 |Q N|$ 的最小值为（）

A、4 B、5 C、6 D、9

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3、已知三条直线 $l_{1} : x - 2 y + 2 = 0$ ， $l_{2} : y - 2 = 0$ ， $l_{3} : m x + y = 0$ 将平面分为六个部分，则满足条件的m的值共有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、无数个

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4、已知函数 $f (x) = 2 - \frac{2}{2^{x} + 1}$ ，则函数 $f (x)$ 的图象的对称中心的坐标为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(0, 0)$ C、 $(1, 0)$ D、 $(- 1, 0)$

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5、若α，β为两个不同的平面，m为一条直线，则下列结论正确的是（）

A、若 $m // α, m // β$ ，则 $α // β$ B、若 $m ⊥ α, α ⊥ β$ ，则 $m // β$ C、若 $m // α, m // β$ ，则α与β相交 D、若m⊥α， $m // β$ ，则α⊥β

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6、在空间直角坐标系中，向量 $\vec{m} = (1, - 2, 3)$ ， $\vec{n} = (1, 3, 4)$ ，则 $\vec{n}$ 在 $\vec{m}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{\sqrt{14}}{2} \vec{m}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{m}$ C、 $- \frac{\sqrt{14}}{2} \vec{m}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{m}$

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7、直线 $x - y + 1 = 0$ 关于y轴对称的直线的方程为（）

A、 $x + y - 1 = 0$ B、 $x + y + 1 = 0$ C、 $x - y - 1 = 0$ D、 $x - y + 1 = 0$

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8、已知集合 $A = {x | 3 \leq x < 10}$ ， $B = {x | 2 < x < 7}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | 2 < x < 3}$ B、 ${x | 7 \leq x < 10}$ C、 ${x | 3 \leq x < 7}$ D、 ${x | 2 < x < 10}$

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9、如果函数 $f (x) = x^{2} + b x + c$ 对于任意实数t都有 $f (2 + t) = f (2 - t)$ ，那么（）

A、f(2)<f(1)<f(4) B、f(1)<f(2)<f(4) C、f(4)<f(2)<f(1) D、f(2)<f(4)<f(1)

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10、命题“ $\forall x \in Z, |x - 2| \in N$ ”的否定为（）

A、 $\forall x \notin Z, |x - 2| \in N$ B、 $\forall x \in Z, |x - 2| \notin N$ C、 $\exists x \notin Z, |x - 2| \notin N$ D、 $\exists x \in Z, |x - 2| \notin N$

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11、常用测量距离的方式有3种．设 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ ，定义欧几里得距离 $d (A, B) = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$ ，定义曼哈顿距离 $m (A, B) = |x_{1} - x_{2}| + |y_{1} - y_{2}|$ ，定义余弦距离 $e (A, B) = 1 - cos (A, B)$ ，其中 $cos (A, B) = cos ⟨\vec{O A}, \vec{O B}⟩$ （ $O$ 为坐标原点）．

(1)、若 $A (1, 2), B (2, 1)$ ，求 $A, B$ 之间的欧几里得距离 $d (A, B)$ 和余弦距离 $e (A, B)$ ；

(2)、若点 $P (x, y)$ 在函数 $y = 3^{x}$ 的图象上且 $x \in Z$ ，点 $Q$ 的坐标为 $(1, 27)$ ，求 $m (P, Q)$ 的最小值；

(3)、若 $C (\sqrt{4 x - x^{2}}, x - 2), D (- 1, \frac{\sqrt{3}}{3})$ ，求 $e (C, D)$ 的取值范围.

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12、已知 $△ A B C$ 的三个顶点分别为 $A (2, 0)$ ， $B (2, 4)$ ， $C (4, 2)$ ，直线 $l$ 经过点 $D (1, 4)$ .

(1)、求 $△ A B C$ 外接圆 $M$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l$ 与圆 $M$ 相交于 $P$ ， $Q$ 两点，且 $P Q = 2 \sqrt{3}$ ，求直线 $l$ 的方程；

(3)、若 $E, F$ 是圆 $M$ 上的两个动点，当 $∠ E D F$ 最大时，求直线 $E F$ 的方程.

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13、已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acos C＋ $\sqrt{3}$ asin C－b－c＝0.
(1)求A；
(2)若AD为BC边上的中线，cos B＝ $\frac{1}{7}$ ， AD＝ $\frac{\sqrt{129}}{2}$ ，求△ABC的面积．

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14、在一个盒子中有 $2$ 个白球， $3$ 个红球，甲、乙两人轮流从盒子中随机地取球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，每次取 $1$ 个，取后不放回，直到 $2$ 个白球都被取出来后就停止取球．

(1)、求 $2$ 个白球都被甲取出的概率；

(2)、求将球全部取出才停止取球的概率．

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15、圆 $x^{2} + y^{2} = 8$ 内有一点 $P_{0} (- 1, 2)$ ， $A B$ 为过点 $P_{0}$ 的弦.当弦 $A B$ 被点 $P_{0}$ 平分时，则直线 $A B$ 的方程为.

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16、2023年6月4日神舟十五号载人飞行任务取得圆满成功，费俊龙、邓清明、张陆这三位航天员在空间站上工作了186天，此次神舟十五号载人飞船返回，是我国空间站转入应用与发展阶段后的首次返回任务，掀开了中国航天空间站的历史新篇章.．为科普航天知识，某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下：7，6，8，9，8，7，10， $m$ ，若去掉 $m$ ，该组数据的第25百分位数保持不变，则整数 $m (1 \leq m \leq 10)$ 的值可以是（写出一个满足条件的 $m$ 值即可）．

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17、两个正方形框架 $A B C D, A B E F$ 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，动点 $M ， N$ 分别在正方形对角线 $A C$ 和 $B F$ 上移动，且 $C M$ 和 $B N$ 的长度保持相等，记 $C M = B N = a (0 < a < \sqrt{2})$ ．（）

A、 $M N / / 平面 B C E$ B、三棱锥 $F - A C E$ 的外接球的表面积为 $12 π$ C、当 $M N$ 的长最小时，平面 $M N A$ 与平面 $M N B$ 夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$ D、当 $M N$ 的长最小时，直线 $C E$ 到平面 $M N B$ 的距离 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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18、已知函数 $f (x) = \sin (2 x + φ) (0 < φ < π)$ 的图象关于点 $(\frac{4 π}{3}, 0)$ 中心对称，则（）

A、 $φ = \frac{π}{3}$ B、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{12}, \frac{13 π}{12})$ 有两个零点 C、直线 $x = \frac{5 π}{6}$ 是曲线 $y = f (x)$ 的对称轴 D、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{12})$ 单调递增

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19、对任意实数 $a, b, c ，$ 下列命题中正确的是（）

A、“ $a > b$ ”是“ $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ”的充要条件 B、“ $a b$ 是无理数”是“ $a ， b$ 都是无理数”的既不充分也不必要条件 C、“ $a > b$ ”是“ $a^{2} > b^{2}$ ”的充分不必要条件 D、“ $a > b$ ”是“ $a c^{2} > b c^{2}$ ”的必要不充分条件

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20、已知 $f (x)$ ， $g (x)$ 都是定义在 $R$ 上的函数，对任意x，y满足 $f (x - y) = f (x) g (y) - g (x) f (y)$ ，且 $f (- 2) = f (1) \neq 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (0) = 1$ B、函数 $g (2 x + 1)$ 的图象关于点 $(1, 0)$ 对称 C、 $g (1) + g (- 1) = 0$ D、若 $f (1) = 1$ ，则 $\sum_{n = 1}^{2023} f (n) = 1$

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