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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 不是常数列，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{n} > 0$ ．若对任意正整数 $n$ ，存在正整数 $m$ ，使得 $|S_{n} - a_{m}| < a_{1}$ ，则称 $\{a_{n}\}$ 是“可控数列”．现给出两个命题：
①若各项均为正整数的等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足公差 $d = 3$ ，则 $\{a_{n}\}$ 是“可控数列”；
②若等比数列 $\{a_{n}\}$ 是“可控数列”，则其公比 $q \in (0, \frac{1}{2}]$ ．
则下列判断正确的是（）

A、①与②均为真命题 B、①与②均为假命题 C、①为假命题，②为真命题 D、①为真命题，②为假命题

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2、在四棱锥 $S - A B C D$ 中，若 $\vec{S A} = x \vec{S B} + y \vec{S C} + z \vec{S D}$ ，则实数组 $(x, y, z)$ 可能是（）

A、 $(1, - 1, 1)$ B、 $(1, 0, - 1)$ C、 $(1, 0, 0)$ D、 $(1, - 1, - 1)$

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3、函数 $y = {log}_{2} sin x + {log}_{2} cos x$ ，则下列命题正确的是（）

A、函数是偶函数 B、函数定义域是 $(0, \frac{π}{2})$ C、函数最大值 $- 1$ D、函数的最小正周期为 $π$

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4、在 $△ A B C$ 中，“ $C = \frac{π}{2}$ ”是“ ${sin}^{2} A + {sin}^{2} B = 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5、已知集合 $M = \{P_{0}, P_{1}, P_{2}, \dots, P_{n}\}, n \geq 2, n \in N$ 是由函数 $y = cos x, x \in [0, 2 π]$ 的图象上两两不相同的点构成的点集，集合 $S = \{a | a = \vec{O P_{0}} \cdot \vec{O P_{i}}, i = 0, 1, 2, \dots, n, n \geq 2, n \in N\}$ ，其中 $P_{0} (0, 1)$ 、 $P_{1} (π, - 1)$ ．若集合 $S$ 中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为 $d$ 的等差数列，当 $d \in \{\frac{1}{2}, 1\}$ 时，则符合条件的点集 $M$ 的个数为．

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6、上海市奉贤区奉城镇的古建筑万佛阁（图1）的屋檐下常系挂风铃（图2），风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃，一般一个惊鸟铃由铜铸造而成，由铃身和铃舌组成，为了知道一个惊鸟铃的质量，可以通过计算该惊鸟铃的体积，然后由物理学知识计算出该惊鸟铃的质量，因此我们需要作出一些合理的假设：
假设1：铃身且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥；
假设2：两圆锥的轴在同一条直线上；
假设3：铃身内部有一个挂铃舌的部位的体积忽略不计．
截面图如下（图3），其中 $O_{1} O_{3} = 20 cm$ ， $O_{2} O_{3} = 18 cm$ ， $A B = 16 cm$ ，则制作 $100$ 个这样的惊鸟铃的铃身至少需要千克铜．（铜的密度为 $8.9 g / {cm}^{3}$ ）（结果精确到个位）

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7、申辉中学高一（8）班设计了一个“水滴状”班徽的平面图（如图），徽章由等腰三角形 $A B C$ 及以弦 $B C$ 和劣弧 $B C$ 所围成的弓形所组成，其中 $A B = A C$ ，劣弧 $B C$ 所在的圆为三角形的外接圆，圆心为 $O$ ．
已知 $∠ B A C = θ, θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，外接圆的半径是2，则该图形的面积为．（用含 $θ$ 的表达式表示）

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8、甲乙两人下棋，每局两人获胜的可能性一样，某一天两人要进行一场三局两胜的比赛，最终胜者赢得100元奖金，第一局比赛甲获胜，后因为有其他事情而中止比赛，则甲应该分元奖金才公平？

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9、在复平面内， $O$ 为坐标原点，复数 $z_{1} = i (- 4 - 3 i)$ ， $z_{2} = 12 + 5 i$ 对应的点分别为 $Z_{1} 、 Z_{2}$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $⟨\vec{O Z_{1}}, \vec{O Z_{2}}⟩$ 的大小为．

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10、已知抛物线 $x^{2} = a y (a > 0)$ 上有一点 $P$ 到准线的距离为 $6$ ，点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为 $4$ ，则抛物线的焦点坐标为．

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11、 ${(x^{6} + \frac{1}{x \sqrt{x}})}^{5}$ 的二项展开式中的常数项为．（用数字作答）

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12、若 $A, B, C, D, E$ 五人站成一排，如果 $A, B$ 必须相邻，那么排法共种.

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13、设 $f (x) = \{\begin{array}{l} ln x + 1, x > 0, \\ 2^{x} + 1, x \leq 0. \end{array}$ 若 $f (x_{0}) = 1$ ，则 $x_{0} =$ ．

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14、已知 $x \in R$ ，则不等式 $x^{2} - x + 2 > 0$ 的解集为．

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15、若直线 $l_{1}$ ： $x + a y - 2 = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $a x + y - 2 = 0$ 互相垂直，则 $a =$ ．

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16、设全集 $U = \{1, 2, 3, 4\}$ ，集合 $A = \{2, 4\}$ ，则 $\bar{A} =$ ．

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17、已知函数 $f (x) = x - a ln x$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、若关于 $x$ 的方程 $x - a ln x = 0$ 有两个不相等的实数根，记较小的实数根为 $x_{0}$ ，求证： $(a - 1) x_{0} > a$ ．

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18、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 是菱形且与底面 $A B C D$ 垂直， $M$ 是棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点， $N$ 是线段 $B D$ 上一点，且 $B D = 4 B N$ ， $M N ⊥ B D$ ， $A_{1} B = \sqrt{3} A B = A D = 2 \sqrt{3}$ .

(1)、证明：侧面 $B_{1} C_{1} C B$ 是矩形；

(2)、求直线 $C C_{1}$ 与平面 $A_{1} M N$ 所成角的正弦值.

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19、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a cos B + b cos C = c$ ．

(1)、求证： $△ A B C$ 是等腰三角形．

(2)、若 $A = 30 °$ ， $△ A B C$ 的周长为 $2 + \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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20、已知 $\tan (x + \frac{π}{7}) = - \frac{\sqrt{2}}{4}$ ， $x$ 为第二象限角，则 $\sin (x + \frac{10 π}{21}) =$ .

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