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相关试卷

1、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = A A_{1}$ ， $B C ⊥ A B$ ， E，F，G，H分别为 $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $A_{1} B_{1}$ ， $A_{1} C_{1}$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、 $A B_{1} ⊥ E G$ B、 $E G$ ， $F H$ ， $A A_{1}$ 三线不共点 C、 $A B$ 与平面 $E F H G$ 所成角为 $45 °$ D、设 $B C = 2$ ，则多面体 $E G B_{1} F H C_{1}$ 的体积为1

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2、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差为 $d$ ，已知 $S_{10} < 0$ ， $a_{6} > 0$ .则（）

A、 $a_{5} > 0$ B、 $d > 0$ C、 $S_{n} > 0$ 时， $n$ 的最小值为 $11$ D、 $S_{n}$ 最小时， $n = 6$

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3、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{|x|}$ ，若方程 $[f (x) - e] [f (x) + e + a] = 0$ 恰有5个不同的解，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - e)$ B、 $(- \infty, - 2 e)$ C、 $(- \infty, - \frac{2}{e})$ D、 $(- \infty, - \frac{1}{e})$

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4、设双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过坐标原点的直线与C交于A，B两点， $F_{2} A = 2 F_{1} A$ ， $△ A B F_{2}$ 的面积为 $8 \sqrt{3}$ ，且 $∠ A F_{2} B$ 为钝角， $|A F_{2}| - |A F_{1}| = 4$ ，则双曲线C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{24} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

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5、已知函数 $f (x) = \cos (ω x + φ)$ ，其中 $ω > 0$ ， $0 < φ < π$ ，若图象上的点 $(- \frac{π}{10}, 0)$ 与之相邻的一条对称轴为直线 $x = \frac{2}{5} π$ ，则 $φ$ 的值是（）

A、 $\frac{π}{5}$ B、 $\frac{2 π}{5}$ C、 $\frac{3 π}{5}$ D、 $\frac{4 π}{5}$

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6、已知函数 $f (x) = 3^{x} - 3^{- x}$ ，则 $f (x^{2} - 2) + f (x) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- 2, 1)$ B、 $(- \infty, - 2) \cup (1, + \infty)$ C、 $(- 1, 2)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (2, + \infty)$

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7、已知正四棱锥的顶点都在球上，且棱锥的高和球的半径均为 $\sqrt{3}$ ，则正四棱锥的体积为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $6 \sqrt{3}$

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8、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (x, 1)$ ，且 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $x =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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9、 $\frac{1 - i}{2 - i} =$ （）

A、 $\frac{1}{5} + \frac{3}{5} i$ B、 $\frac{1}{5} - \frac{3}{5} i$ C、 $\frac{3}{5} + \frac{1}{5} i$ D、 $\frac{3}{5} - \frac{1}{5} i$

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10、设全集 $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ，集合 $M = \{1, 3, 5\}$ ，则 $∁_{U} M =$ （）

A、 $\{4\}$ B、 $\{2, 4\}$ C、 $\{2, 5\}$ D、 $\{2\}$

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11、“ $x^{2} > 1$ ”是“ $\frac{1}{x} < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、已知函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，经研究可将其推广为：函数 $y = f (x)$ 图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数.

(1)、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且图象关于点 $(1, 0)$ 中心对称，求 $f (0) + f (1) + f (2)$ 的值；

(2)、已知函数 $f (x) = \frac{n}{3^{x - 1} + m} (m > 0)$ 的图象关于点 $P (1, - \frac{1}{2})$ 中心对称.
（ⅰ）求实数 $m$ 、 $n$ 的值；
（ⅱ）设函数 $g (x) = \frac{3^{x - k} + n}{3^{x - k} + m} + x^{3} - 3 k x^{2} + 3 k^{2} x - k^{3} + c$ ，其中 $c > 0$ ，若正数 $a$ 、 $b$ 满足 $g (\frac{2 k}{2025}) + g (\frac{4 k}{2025}) + g (\frac{6 k}{2025}) + \cdot \cdot \cdot + g (\frac{4048 k}{2025}) \leq 2024 (a + 2 b)$ ，且不等式 $λ (2 b + c) a \leq 2 b^{2} + b c + a^{2}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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13、某放射性物质在衰变过程中，其质量 $m$ （单位：克）与年数 $t$ 满足关系式 $m = m_{0} e^{- k t}$ （ $m_{0}$ 为初始质量， $k$ 为常数， $e \approx 2.718$ ）.已知经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半，再经过6年，该放射性物质的质量变为初始质量的（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{8}$

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14、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D, P A = A C = 2, B C = 1, A B = \sqrt{3}$ .

(1)、若 $A D ⊥ P B$ ，证明： $A D //$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求二面角 $P - B C - A$ 的大小.

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15、如图，边长为2的正方形 $A C D E$ 所在平面与平面 $A B C$ 垂直， $A D$ 与 $C E$ 的交点为 $M$ ， $A C ⊥ B C$ ，且 $A C = B C$ .

(1)、求证： $A M ⊥$ 平面 $E B C$ ；

(2)、求直线 $E C$ 与平面 $A B E$ 所成角的大小.

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16、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别为线段 $D D_{1}, B D$ 的中点.

(1)、求异面直线 $E F$ 与 $B C$ 所成角的大小；

(2)、求点 $D$ 到平面 $A E F$ 的距离.

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17、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 3$ ， $∠ A B C = 120 ^{\circ}$ ，将 $△ A B C$ 绕 $B C$ 轴旋转一周形成了一个旋转体.

(1)、求这个旋转体的体积；

(2)、求这个旋转体的表面积.

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18、“中国天眼”为500米口径球面射电望远镜(Five－hundred－meter Aperture Spherical radio Telescope，简称FAST)，是具有我国自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜.建造“中国天眼”的目的是（）

A、通过调查获取数据 B、通过试验获取数据 C、通过观察获取数据 D、通过查询获得数据

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19、中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体的棱长为

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20、设地球的半径为 $R$ ，若 $A$ 在北纬 $30^{\circ}$ 的纬线图上，则此纬线圈构成的小圆面积为.（结果用 $R$ 表示）

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