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相关试卷

1、已知 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{2} + a_{7} = 40, S_{5} = 70$ .

(1)、写出等差数列的通项公式和求和公式.

(2)、求 $S_{n}$ ；

(3)、若 $b_{n} = \frac{1}{S_{n}}$ ，记数列 $\{b_{n}\}$ 前 $n$ 项和为 $T_{n}$

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2、在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 60 °$ ， $∠ B A C$ 的平分线与 $B C$ 交于点 $D$ ，且 $A D = 1$ ， $B C = \sqrt{6}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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3、函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = \log_{2} x$ ，则 $f (- 4) =$ ．

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4、设函数 $f (x) = x^{3} - x^{2} + a x - 1$ ，则（）

A、当 $a = - 1$ 时， $f (x)$ 有三个零点 B、当 $a \geq \frac{1}{3}$ 时， $f (x)$ 无极值点 C、 $\forall a \in R$ ，曲线 $y = f (x)$ 对称中心的横坐标为定值 D、 $\exists a \in R$ ，使 $f (x)$ 在 $R$ 上是减函数

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5、已知过点 $A (1, 0)$ 的直线 $l$ 与圆 $C : {(x + 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点，若 $| M N | = 2$ ，则 $l$ 的斜率为（）

A、 $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\pm \frac{1}{2}$ C、 $\pm \frac{1}{3}$ D、 $\pm \frac{1}{4}$

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6、已知复数 $z = \frac{2 i}{1 + i}$ ，则 $| z + i | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $5$

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7、已知向量 $\vec{a} = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}), \vec{b} = (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，若 $(\vec{a} + λ \vec{b}) ∥ (μ \vec{a} + \vec{b})$ ，则（）

A、 $λ μ = 1$ B、 $λ μ = - 1$ C、 $λ + μ = - 1$ D、 $λ + μ = 1$

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8、已知集合 $A = \{x |x^{2} < 4\}$ ，集合 $B = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ B、 $\{- 1, 0, 1\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\{0, 1, 2\}$

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9、数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为 ${(x^{2} + y^{2})}^{3} = x^{2} y^{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、四叶草曲线有四条对称轴 B、设 $P$ 为四叶草曲线上一点，且在第一象限内，过 $P$ 作两坐标轴的垂线，则两垂线与两坐标轴围成的矩形面积的最大值为 $\frac{1}{8}$ C、四叶草曲线上的点到原点的最大距离为 $\frac{1}{4}$ D、四叶草曲线的面积小于 $\frac{π}{4}$

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10、设 $\frac{π}{4} < α < \frac{3 π}{4}$ ， $\sin α + \cos α = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ ，则 $\cos 2 α =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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11、若复数 $z = \frac{i}{1 - i}$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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12、已知函数 $f (x) = 2 ln x - \frac{1}{2} m x^{2} + 1 (m \in R)$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性

(2)、当 $m = 1$ 时，证明： $f (x) < 1$ .

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13、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $3 ({sin}^{2} A + {sin}^{2} C) = 2 sin A sin C + 8 sin A sin C cos B$ ．

(1)、证明： $a + c = 2 b$ ；

(2)、若 $cos B = \frac{11}{14}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{15}{4} \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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14、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x - a, x \leq 0 \\ \ln x, x > 0 \end{array}$ ，已知 $x_{1} < x_{2}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，若 $x_{2} - x_{1}$ 的最小值为 $\frac{1}{e}$ ，则 $a$ 的值为．

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15、在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{3} a_{5} = 64, a_{6} = 32$ ，则 $a_{1}$ 的值为.

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16、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} a^{x}, x < 0 \\ a x + a, x \geq 0 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $[1, + \infty)$

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17、已知 $2 \sin α - \sin β = \sqrt{3}, 2 \cos α - \cos β = 1$ ，则 $\cos (α - β) =$ （）

A、- $\frac{1}{8}$ B、- $\frac{7}{8}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$

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18、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{2} = 4$ ， $S_{9} = 63$ ，则 $a_{8} =$ （）

A、7 B、8 C、10 D、16

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19、设复数 $z$ 满足 $(- 1 + i) z = 1 - 3 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 2 - i$ B、 $- 2 - 2 i$ C、 $1 - 2 i$ D、 $- 2 + i$

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20、已知集合 $A = \{x |x^{2} < 9\}$ ， $B = \{- 1, 0, 2, 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0\}$ B、 $\{0, 2\}$ C、 $\{- 1, 0, 2\}$ D、 $\{- 1, 2\}$

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