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相关试卷

1、已知 $a \in R$ ，二次函数 $f (x) = a x^{2} - 2 x - 2 a$ ．

(1)、当 $a > 0$ 时，求 $f (x)$ 在 $[0, 2]$ 上的最大值 $g (a)$ ；

(2)、设不等式 $f (x) > 0$ 的解集为A，又知集合 $B = \{x | 1 < x < 3\}$ ．若 $A \cap B \neq \emptyset$ ，求a的取值范围．

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2、已知函数 $f (x) = 1 - \frac{2}{5^{x} + 1}$ ．

(1)、试用函数单调性定义证明函数 $f (x)$ 在R上单调递增；

(2)、求不等式 $f (m^{2} - 2 m) < f (m - 2)$ 的解集．

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3、已知区间 $A = (2, 4), B = (a, 5)$ ．
（1）若 $A \cap B = (3, 4)$ ，求实数a的值；
（2）若 $A \cup B = (2, 5)$ ，求实数a的取值范围．

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4、（1）求值： $2 \times {(\sqrt[3]{2} \times \sqrt{3})}^{6} + {(\sqrt{2 \sqrt{2}})}^{\frac{4}{3}} - 4 \times {(\frac{16}{49})}^{- \frac{1}{2}} + {(2024)}^{0}$ ；
（2）已知 $x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} = 3$ ，求 $x + x^{- 1}$ 的值．

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5、① $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增，② $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) = \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则满足上述两个条件的函数为（写出一个即可）；

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6、已知幂函数 $y = f (x)$ 的图像经过点 $(3, \frac{\sqrt{3}}{3})$ ，则这个函数的解析式为 $f (x)$ =

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7、已知常数 $a > 0$ ， $f (x) = \frac{2^{x}}{2^{x} + a x}$ 的图象经过点 $P (p, \frac{6}{5}), Q (q, - \frac{1}{5})$ ，且 $2^{p + q} = 36 p q$ ，则（）

A、 $a = 6$ B、 $f (x)$ 的图象与 $y = 1$ 无限接近但又不与该直线相交 C、 $\forall x \in (2, + \infty)$ ，不等式 $f (x) > \frac{1}{a - 2}$ 恒成立 D、方程 $f (2 x) = f (x)$ 有且只有一个实数解

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8、已知函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 的图象如图所示，则（）

A、 $y = f (x) g (x)$ 为奇函数 B、 $y = f (x) g (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增 C、 $y = f (g (x))$ 在 $(- \infty, 0)$ 上单调递减 D、 $y = f (x) g (x)$ 的值域为 $R$

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9、已知 $a$ ， $b$ 为正数，且 $a + b = 1$ ，则（）

A、 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 的最小值为 $\sqrt{2}$ B、 $a b$ 的最大值为 $\frac{1}{4}$ C、 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值为3

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10、设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b＝ $\{\begin{matrix} a, a \leq b \\ b, a > b \end{matrix}$
a∨b＝ $\{\begin{matrix} b, a \leq b \\ a, a > b \end{matrix}$ 若正数a，b，c，d满足ab≥4，c＋d≤4，则(　　)

A、a∧b≥2，c∧d≤2 B、a∧b≥2，c∨d≥2 C、a∨b≥2，c∧d≤2 D、a∨b≥2，c∨d≥2

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11、已知函数 $f (x) = \frac{1 + x}{1 - x}$ ，若 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数，则（）

A、 $a = 1, b = - 1$ B、 $a = 1, b = 1$ C、 $a = - 1, b = - 1$ D、 $a = - 1, b = 1$

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12、已知函数 $f (x) = \sqrt[n]{x^{n}}$ ， $g (x) = x, n > 1$ ， $n \in N^{*}$ ，则“ $n$ 为奇数”是“ $f (x), g (x)$ 是同一个函数”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、已知函数 $f (x) = x^{2} - k x - 8$ 在 $[3, 4]$ 上具有单调性，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $[6, 8]$ B、 $(- \infty, 6] \cup [8, + \infty)$ C、 $[8, + \infty)$ D、 $(- \infty, 6]$

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14、函数 $f (x) = \frac{\sqrt{4 - x}}{x - 1}$ 的定义域为（）

A、 $(- \infty, 4]$ B、 $(1, 4]$ C、 $(- \infty, 1) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- \infty, 1) \cup (1, 4]$

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15、函数 $f (x) = 3^{x} + 1$ ，则 $f (x)$ 的值域为（）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $[1, + \infty)$ C、 $(0, + \infty)$ D、 $[0, + \infty)$

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16、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x (x + 4), x \geq 0 \\ x (x - 4), x < 0 \end{array}$ ，则 $f (- 3) =$ （）

A、21 B、 $- 3$ C、 $- 21$ D、3

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17、若椭圆的两个焦点将长轴三等分，则它的离心率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{6}$

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18、直线 $l_{1}$ 经过点 $A (- 2, 0)$ ，倾斜角为 $α, 0 < α < \frac{π}{2}$ ，直线 $l_{2}$ 经过点 $B (2, 0)$ ，倾斜角为 $α + θ$ .两直线相交于点P.

(1)、若 $θ = \frac{π}{4}$ ；
（i）请用 $\tan α$ 表示线段PB中点Q的坐标；
（ⅱ）求证：线段PB中垂线过定点.

(2)、当 $α = \frac{π}{6}, θ = \frac{π}{3}$ 时，椭圆 $τ$ 以A、B为焦点，且经过点P，H为椭圆 $τ$ 的上顶点.
（i）求椭圆 $τ$ 的标准方程；
（ⅱ）若直线 $y = k x + m$ 与椭圆 $τ$ 交于M、N，若 $H M = H N$ .求k的取值范围.

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19、已知直线 $x - y + 2 = 0$ 和圆 $C : x^{2} + y^{2} - 8 x + 12 = 0$ ，过直线上的一点 $P (x_{0}, y_{0})$ 作两条直线PA，PB与圆C相切于A，B两点，如下图所示.

(1)、当P点坐标为 $(2, 4)$ 时，求以PC为直径的圆的方程，并求直线AB的方程；

(2)、直线l经过点P，与圆C交于M，N两点求 $P M \cdot (P M + P N)$ 的最小值.

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20、在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $2 B C = 2 B B_{1} = B A = 2$ ，点M为棱 $A A_{1}$ 上的动点（含端点）.

(1)、求二面角 $A - D_{1} C - D$ 的余弦值；

(2)、当 $A M$ 的长度为何值时，直线 $B_{1} M$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角的正弦值最小，并求出最小值.

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