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相关试卷

1、已知平面四边形 $A B C D$ ， $A B = A D = 2$ ， $∠ B A D = 60 °$ ， $∠ B C D = 30 °$ ， $B D ⊥ C D$ ，现将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 边折起，使得平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ，点 $P$ 为线段 $A D$ 的中点．

(1)、求证： $B P ⊥$ 平面 $A C D$ ；

(2)、若 $M$ 为 $C D$ 的中点，求 $M P$ 与平面 $B P C$ 所成角的余弦值．

(3)、在（2）的条件下，求平面 $P B M$ 与平面 $B M D$ 所成二面角的余弦值．

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2、已知在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $c - a \cos B = \frac{\sqrt{3}}{3} a \sin B$

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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3、已知向量 $\vec{a} = (1, x), \vec{b} = (2, 3)$ ．

(1)、若 $\vec{b} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，求 $|\vec{a} - \vec{b}|$ ；

(2)、若 $\vec{c} = (- 3, - 4)$ ， $\vec{b} / / (\vec{a} + \vec{c})$ ，求 $3 \vec{b} + \vec{c}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角的余弦值．

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4、已知 $|\vec{b}| = 3, \vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值为.

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5、已知 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $a = 1, b = 2, \cos C = \frac{1}{4}$ ，则 $\sin A =$ ．

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6、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 为线段 $B_{1} C$ 上一动点，则下列说法正确的是（）

A、直线 $B D_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ B、异面直线 $A P$ 与 $A_{1} D$ 所成角的取值范围是 $(0, \frac{π}{3}]$ C、 $A P / /$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ D、平面 $A_{1} C_{1} D$ 与底面 $A B C D$ 的交线平行于直线 $A C$

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7、设 $△ A B C$ 满足 $\sin A : \sin B : \sin C = 2 : 3 : \sqrt{7}$ ，其面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，则（）

A、 $△ A B C$ 周长为 $6 + \sqrt{7}$ B、 $A + B = 2 C$ C、 $△ A B C$ 外接圆的面积为 $\frac{7}{3} π$ D、 $△ A B C$ 中线 $C D$ 长为 $\frac{\sqrt{19}}{2}$

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8、已知 $z_{1}$ 与 $z_{2}$ 是共轭复数，以下4个命题一定正确的是（）

A、 $z_{1} z_{2} = |z_{1} z_{2}|$ B、 $z_{1}^{2} < {|z_{2}|}^{2}$ C、 $z_{1} + z_{2} \in R$ D、 $\frac{z_{1}}{z_{2}} \in R$

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9、在 $△ A B C$ 中，若动点 $P$ 满足 ${\vec{A C}}^{2} + 2 \vec{C B} \cdot \vec{A P} = {\vec{A B}}^{2}$ ，则 $P$ 点的轨迹一定经过 $△ A B C$ 的（）

A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心

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10、一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东 $35 °$ 的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东 $65 °$ ，在B处观察灯塔，其方向是北偏东 $70 °$ ，那么B，C两点间的距离是（）

A、 $10 \sqrt{5}$ 海里 B、 $20 \sqrt{3}$ 海里 C、 $10 \sqrt{2}$ 海里 D、 $20 \sqrt{2}$ 海里

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11、已知 $△ A B C$ 内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 (a^{2} + b^{2} - c^{2})}{4 \sqrt{3}}$ ，则 $\cos C$ 为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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12、已知 $a, b, c$ 是不同的直线， $α, β$ 是不同的平面，则下列说法正确的是（）

A、若 $a / / b, b \subset α$ ，则 $a / / α$ B、若 $a ⊥ b, a ⊥ c, b \subset α, c \subset α$ ，则 $a ⊥ α$ C、若 $α ⊥ β, α \cap β = a, b ⊥ a$ ，则 $b ⊥ α$ D、若 $a ⊥ α, a ⊥ β$ ，则 $α / / β$

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13、如图，已知 $\overset{⃑}{A P} = \frac{4}{3} \overset{⃑}{A B}$ ，用 $\overset{⃑}{O A}, \overset{⃑}{O B}$ 表示 $\overset{⃑}{O P}$ ，则 $\overset{⃑}{O P}$ 等于 $($ 　　 $)$

A、 $\frac{1}{3} \overset{⃑}{O A} - \frac{4}{3} \overset{⃑}{O B}$ B、 $\frac{1}{3} \overset{⃑}{O A} + \frac{4}{3} \overset{⃑}{O B}$ C、 $- \frac{1}{3} \overset{⃑}{O A} + \frac{4}{3} \overset{⃑}{O B}$ D、 $- \frac{1}{3} \overset{⃑}{O A} - \frac{4}{3} \overset{⃑}{O B}$

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14、若复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 1 - i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- i$ B、 $- 1$ C、 $i$ D、1

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15、函数 $f (x) = x^{2} \log_{4} \frac{2 + x}{2 - x}$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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16、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C, A B = 1, A C = A A_{1} = 2$ ．

(1)、证明： $A_{1} C ⊥$ 平面 $A B C_{1}$ ；

(2)、求直线 $A C_{1}$ 与平面 $A_{1} B C_{1}$ 所成角的正弦值．

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17、如图，已知在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 为直角梯形， $A D ⊥ C D, A B / / C D$ ， $A B = A D = P D = 2, C D = 4$ ，点 $E$ 是棱 $P C$ 上靠近 $P$ 端的三等分点，点 $F$ 是棱 $P A$ 上一点.

(1)、证明： $P A / /$ 平面 $B D E$ ；

(2)、求点 $F$ 到平面 $B D E$ 的距离；

(3)、求平面 $B D E$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值.

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18、随着居民家庭收入的不断提高，人们对居住条件的改善的需求也在逐渐升温．某城市统计了最近5个月的房屋交易量，如下表所示：
时间 $x$
1
2
3
4
5
交易量 $y$ （万套）
$0.5$
0.8
1.0
1.2
1.5
若 $y$ 与 $x$ 满足一元线性回归模型，且经验回归方程为 $\hat{y} = 0.24 x + \hat{a}$ ，则下列说法错误的是（）

A、根据表中数据可知，变量 $y$ 与 $x$ 正相关 B、经验回归方程 $\hat{y} = 0.24 x + \hat{a}$ 中 $\hat{a} = 0.28$ C、可以预测 $x = 6$ 时房屋交易量约为 $1.72$ （万套） D、 $x = 5$ 时，残差为 $- 0.02$

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19、不等式 $(x - 1) (x - 3) \leq 0$ 的解集是（）

A、 $(- \infty, 0)$ B、 $[1, 3]$ C、 $(0, 2)$ D、 $(6, + \infty)$

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20、已知函数 $f (x) = a e^{x} - e^{- x}, (a \in R)$ .

(1)、若 $f (x)$ 为奇函数，求此时 $f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) - (a + 1) x$ ，且存在 $x_{1}, x_{2}$ 分别为 $g (x)$ 的极大值点和极小值点.
（i）求函数 $g (x)$ 的极值；
（ii）若 $a \in (1, + \infty)$ ，且 $g (x_{1}) + k g (x_{2}) > 0$ ，求实数 $k$ 的取值范围.

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时间 $x$	1	2	3	4	5
交易量 $y$ （万套）	$0.5$	0.8	1.0	1.2	1.5