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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (m, 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ ．

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2、圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点 $F_{2}$ 处发出的光线，经过双曲线在点 $P$ 处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点 $F_{1}$ ，且双曲线在点 $P$ 处的切线平分 $∠ F_{1} P F_{2}$ ．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线 $C$ 过点 $(3, - 1)$ ，其左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ．若从 $F_{2}$ 发出的光线经双曲线右支上一点 $P$ 反射的光线为 $P Q$ ，点 $P$ 处的切线交 $x$ 轴于点 $T$ ，则下列说法正确的是（）

A、双曲线 $C$ 的方程为 $x^{2} - y^{2} = 8$ B、过点 $P$ 且垂直于 $P T$ 的直线平分 $∠ F_{2} P Q$ C、若 $P F_{2} ⊥ P Q$ ，则 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}| = 18$ D、若 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，则 $|P T| = \frac{4 \sqrt{30}}{5}$

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3、已知函数 $f (x) = e^{x}, g (x) = ln x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 互为反函数 B、若 $x_{0}$ 是函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 的极值点，则 $x_{0} = ln x_{0}$ C、若 $e^{x_{1}} = 2 - x_{1}, ln x_{2} = 2 - x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} = 2$ D、点 $P$ 在曲线 $y = f (x)$ 上，点 $Q$ 在曲线 $y = g (x)$ 上，则 $|P Q| \geq \sqrt{2}$

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4、已知函数 $f (x) = sin 2 x$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{2}, 0)$ 对称 B、函数 $|f (x)|$ 的最小正周期为 $π$ C、函数 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上有且仅有一个零点 D、将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后，得到函数 $g (x) = sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象

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5、如图，从一个半径为 $2 \sqrt{3}$ 的圆形纸板中剪出一块最大的正三角形纸板，并将此正三角形纸板折叠成一个正四面体，则该正四面体外接球的表面积为（）

A、 $12 π$ B、 $\frac{27 π}{2}$ C、 $27 π$ D、 $\frac{27 \sqrt{6} π}{8}$

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6、已知线段 $A B$ 的长度为4，动点 $M$ 与点 $A$ 的距离是它与点 $B$ 的距离的 $\sqrt{2}$ 倍，则 $△ M A B$ 面积的最大值为（）

A、 $8 \sqrt{2}$ B、8 C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $\frac{16}{3}$

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7、关于 $x, y$ 的方程 $x^{n} + y^{n} = 1 (n \in Z)$ 对应的曲线不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8、已知 $α, β$ 为锐角，若 $tan α = \frac{3}{4}, cos (α + β) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $sin β =$ （）

A、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{5}$

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9、甲、乙两位学生的5次化学考试成绩如下表：
学生
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲
87
91
90
89
99
乙
89
90
91
88
92
下列结论正确的是（）

A、甲的极差小于乙的极差 B、乙的平均数大于甲的平均数 C、乙的成绩比甲的成绩更稳定 D、甲的中位数小于乙的中位数

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10、记等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{4} = 5, a_{7} = 8$ ，则 $S_{10} =$ （）

A、13 B、45 C、65 D、130

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11、若复数 $z = \frac{2 - i}{1 + i}$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ D、4

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12、已知集合 $A = \{x | x - 2 \leq 0\}, B = \{- 2, - 1, 1, 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, - 1, 1, 3\}$ B、 $\{- 2, - 1, 1\}$ C、 $\{- 1, 1, 3\}$ D、 $\{- 1, 1\}$

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13、命题“ $\exists x > 1$ ， $x^{2} - a x + 2 < 0$ ”的否定是．

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14、已知A，B分别是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右顶点，点 $P (2 \sqrt{2}, n)$ 是双曲线C上的一点，直线PA，PB的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且 $k_{1} k_{2} = | A B | = 4$ .

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、已知过点 $(4, 0)$ 的直线 $l : x = m y + 4$ ，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）.
（i）求m的取值范围；
（ii）设直线 $A D$ 与直线 $B E$ 交于点Q，求证：点Q在定直线上.

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15、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 焦距为2，离心率e是 $\frac{1}{2}$

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、过点 $F (1, 0)$ 作两条互相垂直的弦 $A B, C D$ ，其中 $B, D$ 在 $x$ 轴的上方，且 $B$ 在 $D$ 的右侧，设弦 $A B, C D$ 的中点分别为 $M, N$ .
①若弦 $A B, C D$ 的斜率均存在，求四边形 $A C B D$ 面积的最小值；
②判断直线 $M N$ 是否过定点，若过定点，则求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由.

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16、已知两直线 $l_{1} : x + y + 2 = 0$ 和 $l_{2} : 3 x - 2 y + 1 = 0$ 的交点为 $P$ ．

(1)、直线 $l$ 过点 $P$ 且与直线 $x + 3 y + 1 = 0$ 平行，求直线 $l$ 的一般式方程；

(2)、圆 $C$ 过点 $(1, 0)$ 且与 $l_{1}$ 相切于点 $P$ ，求圆 $C$ 的一般方程．

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17、阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点 $P$ 到两个定点的距离之比为常数 $λ$ （ $λ > 0$ ，且 $λ \neq 1$ ），那么点 $P$ 的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点 $P$ 到 $A (2, 0)$ ， $B (- 2, 0)$ 的距离比为 $\sqrt{3}$ ，则点 $P$ 到直线 $l$ ： $2 \sqrt{2} x - y - \sqrt{2} = 0$ 的距离的最大值是.

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18、已知点 $P (6, y_{0})$ 在焦点为 $F$ 的抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上，若 $|P F| = \frac{15}{2}$ ，则 $p =$ .

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19、已知向量 $\vec{a} = (2, 1, 1)$ ， $\vec{b} = (0, - 1, - 1)$ ，若 $(\vec{a} + λ \vec{b}) / / (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $λ =$ .

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20、3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为 $\sqrt{10}$ 的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为 $6 \sqrt{2} cm$ ，下底直径为 $9 \sqrt{2} cm$ ，喉部（中间最细处）的直径为 $8 cm$ ，则该塔筒的高为（）

A、 $\frac{27}{2} cm$ B、 $18 cm$ C、 $\frac{27 \sqrt{2}}{2} cm$ D、 $18 \sqrt{2} cm$

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学生	第一次	第二次	第三次	第四次	第五次
甲	87	91	90	89	99
乙	89	90	91	88	92