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相关试卷

1、已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别为椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点， $G$ 为 $E$ 的上顶点，点 $P$ 为椭圆 $E$ 上的一个动点，且三角形 $F_{1} P F_{2}$ 面积的最大值为1，焦距为2.

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、如图，过点 $F_{1}, F_{2}$ 作两直线 $l_{1}, l_{2}$ 分别与椭圆 $E$ 相交于点 $M, N$ 和点 $A, B$ .
（i）若点 $M, N$ 不在坐标轴上，且 $∠ M G F_{1} = ∠ N G F_{1}$ ，求直线 $l_{1}$ 的方程；
（ii）若直线 $l_{1}, l_{2}$ 斜率都存在，且 $M N ⊥ A B$ ，求四边形 $M A N B$ 面积的最小值.

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2、某系统配置有 $2 n - 1$ 个元件（ $n$ 为正整数），每个元件正常工作的概率都是 $p (0 < p < 1)$ ，且各元件是否正常工作相互独立.如果该系统中有一半以上的元件正常工作，系统就能正常工作.现将系统正常工作的概率称为系统的可靠性.

(1)、当 $n = 3, p = 0.5$ 时，求该系统正常工作的概率；

(2)、现在为了改善原系统的性能，在原有系统中增加两个元件，试问增加两个元件后的新系统的可靠性是提高了，还是降低了？请给出你的结论，并说明理由.

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3、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ A C$ ， $A B = 2$ ， $∠ A_{1} A C = 120^{\circ}$ ， $A C = A A_{1} = 2 \sqrt{3}$ ， $P$ 为线段 $A A_{1}$ 上一点，且 $\vec{A P} = λ \vec{A A_{1}} (0 \leq λ \leq 1)$ .

(1)、求证： $A_{1} C ⊥ B C_{1}$ ；

(2)、是否存在实数 $λ$ ，使得平面 $B P C_{1}$ 与平面 $A B C$ 的夹角余弦值为 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ ？若存在，求出实数 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由.

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4、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} > 1, 8 S_{n} = a_{n}^{2} + 4 a_{n} + 3, n \in N^{*}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = {(- 1)}^{n} a_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 前 $2 n$ 项的和 $T_{2 n}$ .

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5、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左，右焦点，过左焦点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 交双曲线左支于 $M, N$ 两点（其中 $M$ 在 $x$ 轴上方， $N$ 在 $x$ 轴下方）， $△ M F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径为 $R, △ N F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径为 $r$ .若 $R = 4 r$ ，则直线 $l$ 的斜率等于.

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6、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，满足 $sin B (a cos B + b cos A) = 2 a sin (A + B)$ .若 $c = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积的最大值是.

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7、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (1, σ^{2})$ ，且 $P (X > 1.5) = 0.12$ ，则 $P (1 < X \leq 1.5) =$ .

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8、平面直角坐标系中，定义 $d (M, N) = max \{|x_{1} - x_{2}|, |y_{1} - y_{2}|\}$ 为两点 $M (x_{1}, y_{1})$ ， $N (x_{2}, y_{2})$ 的“切比雪夫距离”；又设点 $P$ 及直线 $l$ 上任意一点 $Q$ ，称 $d (P, Q)$ 的最小值为点 $P$ 到直线 $l$ 的“切比雪夫距离”，记作 $d (P, l)$ .则下列结论正确的是（）

A、当 $M (2, 1), N (- 1, 2)$ 时， $d (M, N) = 3$ B、当 $M (2, 1), l : 2 x - y + 3 = 0$ 时， $d (M, l) = 2$ C、对任意三点 $A, B, C, d (A, B) + d (B, C) > d (A, C)$ 恒成立 D、动点 $P (x, y)$ 与定点 $F (x_{0}, y_{0})$ 满足 $d (P, F) = 2$ 的轨迹围成的面积是16

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9、如图所示，在平面直角坐标系中，以 $x$ 轴非负半轴为始边的锐角 $α$ 与钝角 $β$ 的终边与单位圆分别交于 $A, B$ 两点.若点 $A$ 的横坐标为 $\frac{11}{14}$ ，点 $B$ 的纵坐标为 $\frac{4 \sqrt{3}}{7}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $tan β = - 4 \sqrt{3}$ B、 $sin (α + β) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $tan (β - α) = \sqrt{3}$ D、 $cos (2 α - β) = \frac{13}{14}$

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10、每年4月23日为“世界读书日”，某学校于四月份开展“书香润泽校园，阅读提升思想”主题活动，为检验活动效果，学校收集当年二至六月的借阅数据如下表：

二月
三月
四月
五月
六月
月份代码 $x$
1
2
3
4
5
月借阅量 $y$ （百册）
4.9
5.1
5.5
5.7
5.8
根据上表，可得 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程为 $\hat{y} = 0.24 x + \hat{a}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\hat{a} = 4.68$ B、借阅量 $4.9, 5.1, 5.5, 5.7, 5.8$ 的下四分位数为5.7 C、 $y$ 与 $x$ 的线性相关系数 $r > 0$ D、七月的借阅量一定不少于 $6.12$ 百册

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11、已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，记 $g (x) = f^{'} (x)$ ，若 $f (1 - x)$ 为偶函数， $g (2 - x)$ 为奇函数，则下列结论一定正确的是（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $g (x + 2)$ 为偶函数 C、 $f (\frac{1}{2}) = f (\frac{5}{2})$ D、 $g (\frac{1}{2}) = g (- \frac{5}{2})$

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12、已知函数 $f (x) = cos (ω x + φ) (ω > 0)$ ，若存在常数 $m (m < 0)$ ，使得 $f (x + m) = m f (x)$ 恒成立，则实数 $ω$ 的最小值是（）

A、 $\frac{5 π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $π$

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13、圆台的上、下底面的面积分别是 $π$ ， $4 π$ ，侧面积是 $6 π$ ，则这个圆台的体积是（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} π$ B、 $2 \sqrt{3} π$ C、 $\frac{7 \sqrt{3}}{6} π$ D、 $\frac{7 \sqrt{3}}{3} π$

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14、复数 $z = \frac{1 - a i}{1 + i}$ （ $i$ 为虚数单位， $a \in R$ ）在复平面上对应的点不可能在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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15、设集合 $U = R$ ，若集合 $M = \{x | - 1 < x < 3\}$ ， $N = \{x | x > 0\}$ ，则集合 $\{x | - 1 < x \leq 0\} =$ （）

A、 $(∁_{U} N) \cap M$ B、 $(∁_{U} M) \cap N$ C、 $∁_{U} (M \cup N)$ D、 $∁_{U} (M \cap N)$

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16、箱子中装有4个红球，2个黄球（除颜色外完全相同），掷一枚质地均匀的骰子1次，如果点数为 $i (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6)$ ，则从该箱子中一次性取出 $i$ 个球.规定：依据 $i$ 个球中红球的个数，判定甲的得分 $X$ ，每一个红球记1分；依据 $i$ 个球中黄球的个数，判定乙的得分 $Y$ ，每一个黄球记2分.比如：若一次性取出了2个红球，2个黄球，则判定甲得分 $X = 2$ ，乙得分 $Y = 4$ .则在1次掷骰子取球的游戏中， $P (X > Y) =$ .

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17、设 $n$ 维向量 $\vec{a} = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ ， $\vec{b} = (y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n})$ ，定义运算： $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} + \dots + x_{n} y_{n}$ .

(1)、当 $n = 2$ 时，若 $\vec{c} = (y_{2}, y_{1})$ 且 $x_{1} < x_{2}$ ， $y_{1} < y_{2}$ ，试比较 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 与 $\vec{a} \cdot \vec{c}$ 的大小；

(2)、已知 $n \in N^{*}$ ，记 $M (n) = {\vec{a} \cdot \vec{b} | \vec{a} = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}), \vec{b} = (y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n})$ 且 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 和 $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}$ 均为 $1, 2, \dots, n$ 的某一排列}.
（ⅰ）求 $M (3)$ ， $M (4)$ ；
（ⅱ）若 $n \geq 4$ ，求 $M (n)$ .（提示： $1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ .）

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18、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{m + 2} + y^{2} = 1 (m > 0)$ ，点 $P (0, - 1)$ 到椭圆 $E$ 上点的距离的最大值为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、若过定点 $(0, 2)$ 的直线 $l$ 交椭圆 $E$ 于点 $A$ ， $B$ ，设点 $Q (0, \frac{1}{2})$ ，直线 $A P$ 与直线 $B Q$ 交于直线 $y = \frac{5}{4}$ 上一点，求直线 $A B$ 的方程.

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19、已知函数 $f (x) = \ln (x + 1) + a x^{2} - x (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、求证：当 $n \in N^{*}$ 时， $1 + \frac{3}{2^{2}} + \frac{5}{3^{2}} + \dots + \frac{2 n - 1}{n^{2}} < 2 \ln (n + 1)$ .

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20、在1，2，3，…，7这7个自然数中，任取3个数.

(1)、求这3个数中恰有1个是偶数的概率；

(2)、设 $X$ 为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时 $X$ 的值是2）.求随机变量 $X$ 的分布列及其数学期望 $E (X)$ .

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	二月	三月	四月	五月	六月
月份代码 $x$	1	2	3	4	5
月借阅量 $y$ （百册）	4.9	5.1	5.5	5.7	5.8