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相关试卷

1、已知 $α$ ， $β \in [0, 2 π]$ ， $cos (α + β) = cos (α - β)$ 且 $sin (α + β) \neq sin (α - β)$ ，写出满足条件的一组 $α =$ ， $β =$ .

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2、已知 ${(1 - 3 x)}^{4} = a_{0} - 3 a_{1} x + 9 a_{2} x^{2} - 27 a_{3} x^{3} + 81 a_{4} x^{4}$ ，则 $a_{0} =$ ； $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} =$ .

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3、复数 $z = (2 + i) i$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 所对应的点坐标为.

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4、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $M, N$ 分别为棱 $A_{1} D_{1}, B C$ 的中点， $P$ 为棱 $C_{1} D_{1}$ 上的动点，有下列说法：

①平面 $M N P$ 截正方体表面所得的交线形成的图形可能为三角形；
②平面 $M N P$ 截正方体表面所得的交线形成的图形可以是菱形且此时截面面积最大；
③存在点 $P$ 使所有棱和平面 $M N P$ 所成角都相等；
④点 $B_{1}$ 到平面 $M N P$ 的距离不超过 $\sqrt{3}$ ；
则下列说法中正确的个数（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5、已知平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (cos θ, sin θ)$ ， $B (- sin θ, cos θ)$ ，设 $C (3, 4)$ ，则 $|\vec{C A} + \vec{C B}|$ 的最大值是（）

A、 $10 + \sqrt{2}$ B、 $5 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、8 D、12

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6、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} sin 2 x - cos 2 x$ ，则下列说法不正确的是（）

A、 $f (\frac{π}{6}) = 1$ B、 $f (x + π) = f (x)$ C、 $f (x + \frac{π}{6}) + f (\frac{π}{6} - x) = 0$ D、 $f (\frac{π}{3} + x) - f (\frac{π}{3} - x) = 0$

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7、在一定条件下，某人工智能大语言模型训练 $N$ 个单位的数据量所需要时间 $T = k {log}_{2} N$ （单位：小时），其中 $k$ 为常数.在此条件下，已知训练数据量 $N$ 从 $10^{6}$ 个单位增加到 $2.56 \times 10^{8}$ 个单位时，训练时间增加8小时；当训练数据量 $N$ 从 $2.56 \times 10^{8}$ 个单位增加到 $2.048 \times 10^{9}$ 个单位时，训练时间增加（单位：小时）（）

A、3 B、4 C、6 D、8

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8、木楔在传统木工中运用广泛.如图，某木楔可视为一个五面体，其中四边形 $A B C D$ 是边长为4的正方形，且 $△ A D E$ ， $△ B C F$ 均为等边三角形， $E F / / C D$ ， $E F = 6$ ，则该木楔的体积为（）

A、 $\sqrt{11}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\frac{10 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{28 \sqrt{11}}{3}$

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9、定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ ， $g (x)$ ， “ $f (x)$ 、 $g (x)$ 均为偶函数”是“函数 $y = f (x) \cdot g (x)$ 为偶函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{2} + 3 a_{4} = 24$ ，则 $S_{6} =$ （）

A、6 B、18 C、36 D、42

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11、已知平面向量 $\vec{a} = (- 1, 2)$ ， $\vec{b} = (3, - 2)$ ， $\vec{c} = (t, t)$ ，若 $(\vec{a} + \vec{c}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $t =$ （）

A、 $- \frac{5}{4}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、5 D、7

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12、已知集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ， $A = \{1, 2\}$ ， $B = \{2, 3\}$ 则 $∁_{U} (A \cup B) =$ （）

A、 $\{1, 2, 3, 4\}$ B、 $\{4, 5\}$ C、 $\{3, 4, 5\}$ D、 $\{4\}$

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13、为弘扬我国古代的“六艺”文化，某中学计划开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门校本课程，每月一门，连续开设六个月，则下列说法正确的是（）

A、若学生甲和乙各自从中任选2门，则他们共有225种不同的选法 B、若课程“乐”排在“书”前面，则课程共有240种排法 C、若课程“射”“御”排在不相邻两个月，则课程共有480种排法 D、若课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月，则课程共有504种排法

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14、某厂的一车间有3台大型机床，一个月内每台机床至多发生1次故障且每台机床是否发生故障相互独立，每台机床发生故障的概率为 $\frac{1}{3}$ ，发生故障时需1名维修工人进行维修.

(1)、若发生故障的机床数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列；

(2)、已知每名维修工人每月的工资为3万元，且1名维修工人每月至多只能维修1台机床，每台机床不发生故障或发生故障能及时维修，就能为该车间产生9万元的利润，否则将不产生利润.现该厂准备为该车间招聘 $k (k = 0, 1, 2, 3)$ 名维修工人，设该车间每月获利为 $Y_{k} (k = 0, 1, 2, 3)$ .
（i）当 $k = 1$ ，即该厂准备为该车间招聘1名维修工人时，求该车间每月获利的均值 $E (Y_{1})$ ；
（ii）若你是该厂厂长，请你决定招聘维修工人的人数 $k$ 的值，并说明理由.

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15、已知在 ${(\sqrt{x} + \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式中，前 $3$ 项的系数分别为 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{3}$ ，且满足 $2 a_{2} = a_{1} + a_{3}$ .

(1)、展开式中是否存在常数项，若存在，求出该常数项；若不存在，请说明理由；

(2)、求展开式中系数最大的项.

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16、某市高二年级期末统考的数学成绩 $X$ 近似服从正态分布 $X \sim N (100, 144)$ .

(1)、估计数学成绩超过112分的人数占总人数的比例；

(2)、若该市有10000名高二年级考生，估计全市数学成绩在 $(88, 124]$ 内的学生人数.
参考数据：若 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X \leq μ + σ) = 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) = 0.9973$ .

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17、某校为了了解本校高二学生每周课外阅读情况，以便有针对性提供阅读建议，学校随机抽查了高二年级的100名同学，依据获得的数据将时间按 $[0, 1)$ ， $[1, 2)$ ， $[2, 3)$ ， $[3, 4)$ ， $[4, 5)$ ， $[5, 6]$ 分组，得到如下的频率分布直方图.

(1)、求 $a$ 的值，并估计该校高二年级每周课外阅读时间的平均数 $\bar{x}$ （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、若采用分层抽样的方法在 $[0, 1)$ ， $[5, 6]$ 两组抽取6人，再从这6人中随机选取3人座谈，设选取的阅读时间在 $[0, 1)$ 的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望 $E (X)$ .

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18、高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有5层小木块，现小禹同学对该高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有 $\frac{1}{3}$ 的概率向左， $\frac{2}{3}$ 的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.将80个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，则2号球槽中落入个小球的概率最大.

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19、有5个男生和3个女生，现从中选出5人担任5门不同学科的课代表，已知男生甲必须包括在内，但不担任语文课代表，则不同选法有种.（用数字回答）.

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20、已知 ${(2 x - 1)}^{6} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \dots + a_{6} x^{6}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{6} =$ ．

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