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相关试卷

1、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = S_{10}, a_{3} + a_{10} = 2$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的公差为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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2、在复平面内，点 $Z (3, - 4)$ 对应的复数为 $z$ ，则 $|\frac{1 + 2 i}{z}| =$ （）

A、 $\frac{1}{25}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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3、已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3}, 1), \vec{b} = (0, m)$ ，若 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、4 D、 $- 4$

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4、已知集合 $A = \{- 1, 0, 2, 3, 4\}$ ， $B = \{x |2^{x} < 9\}$ ，则 $∁_{A} (A \cap B) =$ （）

A、 $\{- 1\}$ B、 $\{4\}$ C、 $\{- 1, 0, 2, 3\}$ D、 $\{0, 2, 3, 4\}$

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5、已知在 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上任意一点 $M (x_{0}, y_{0})$ 处的切线 $l_{0}$ 为 $\frac{x x_{0}}{a^{2}} + \frac{y y_{0}}{b^{2}} = 1$ ，若过右焦点 $F$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 于 $P, Q$ 两点，已知在点 $P, Q$ 处切线相交于 $G$ .
（1）求 $G$ 点的轨迹方程；
（2）①若过点 $F$ 且与直线 $l$ 垂直的直线（斜率存在且不为零）交椭圆 $C$ 于 $E, H$ 两点，证明 $\frac{1}{| P Q |} + \frac{1}{| E H |}$ 为定值.
②四边形 $E Q H P$ 的面积是否有最小值，若有请求出最小值；若没有请说明理由.

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6、已知 $f (x) = e^{x} + x^{2} - x$ ， $g (x) = x^{2} - a x - b$ ， $a, b \in R$

(1)、若 $f (x)$ 与 $g (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线重合，分别求 $a$ ， $b$ 的值.

(2)、若 $\forall b \in R$ ， $f (b) - f (a) \geq g (b) - g (a)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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7、如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面BB₁C₁C是菱形，其对角线的交点为O，且AB=AC₁ ， AB⊥B₁C．

(1)、求证：AO⊥平面BB₁C₁C；

(2)、设∠B₁BC=60°，若直线A₁B₁与平面BB₁C₁C所成的角为45°，求二面角 $A_{1} - B_{1} C_{1} - B$ 的余弦值．

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8、在一次购物抽奖活动中，假设某 $10$ 张奖券中有一等奖券 $1$ 张，可获价值 $50$ 元的奖品；有二等奖券 $3$ 张，每张可获价值 $10$ 元的奖品；其余 $6$ 张没有奖.某顾客从这 $10$ 张中任抽 $2$ 张.
（1）该顾客中奖的概率；
（2）该顾客获得的奖品总价值 $X$ （元）的分布列.

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9、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $b \tan A + b \tan B = \frac{\sqrt{3} c}{\cos A}$ ．

(1)、求 $∠ B$ 的大小；

(2)、若 $a = 4, c = 3$ ，直线PQ分别交AB，BC于P，Q两点，且PQ把 $△ A B C$ 的面积分成相等的两部分，求 $P Q$ 的最小值．

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10、函数 $y = [x]$ 称为高斯函数， $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[0.9]= 0,[lg 99] = 1$ ．已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{3} = 3$ ，且 $a_{n} = n (a_{n + 1} - a_{n})$ ，若 $b_{n} = [lg a_{n}]$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 的前2025项和为．

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11、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，若点 $M$ 在线段 $B C_{1}$ 上（不含端点）运动，则下列结论正确的为（）

A、直线 $A_{1} M$ 可能与平面 $A C D_{1}$ 相交 B、三棱锥 $A - M C D$ 与三棱锥 $D_{1} - M C D$ 的体积之和为定值 C、当 $C M ⊥ M D_{1}$ 时， $C M$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角最大 D、当 $△ A M C$ 的周长最小时，三棱锥 $M - C B_{1} D_{1}$ 的外接球表面积为 $16 π$

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12、某市经济开发区的经济发展取得阶段性成效，为深入了解该区的发展情况，现对该区两企业进行连续11个月的调研，得到两企业这11个月利润增长指数折线图（如下图所示），下列说法正确的是（）

A、这11个月甲企业月利润增长指数的平均数超过82% B、这11个月的乙企业月利润增长指数的第70百分位数小于82% C、这11个月的甲企业月利润增长指数较乙企业更稳定 D、在这11个月中任选2个月，则这2个月乙企业月利润增长指数都小于82%的概率为 $\frac{4}{11}$

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13、已知O为坐标原点，双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 的直线l与E的右支交于点P，Q设 $△ P F_{1} F_{2}$ 与 $△ Q F_{1} F_{2}$ 的内切圆圆心分别是M，N，直线OM，ON的斜率分别是 $k_{1}, k_{2}$ ，则 $k_{1} k_{2} = 2 \sqrt{2} - 3$ ，则双曲线E的离心率为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2} + 1$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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14、已知函数 $f (x) = \sin (ω x - φ)$ 的部分图象如图所示，则 $f (x)$ 的单调递增区间为（）

A、 $[k π - \frac{1}{6}, k π + \frac{5}{6}]$ ， $k \in Z$ B、 $[2 k π - \frac{1}{6}, 2 k π + \frac{5}{6}]$ ， $k \in Z$ C、 $[k - \frac{1}{6}, k + \frac{5}{6}]$ ， $k \in Z$ D、 $[2 k - \frac{1}{6}, 2 k + \frac{5}{6}]$ ， $k \in Z$

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15、设直线 $(a + 1) x - a y - 1 = 0 (a \in R)$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 交于A，B两点，则 $| A B |$ 的取值范围为（）

A、 $[\sqrt{2} ， 2]$ B、 $[\sqrt{2} ， 4]$ C、 $[2 ， 4]$ D、 $[2 \sqrt{2} ， 4)$

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16、 ${(3 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 展开式中的常数项为（）

A、 $- 540$ B、 $- 15$ C、 $15$ D、 $135$

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17、某药厂为获得新研发药品的治愈率 $p$ ，委托某公司进行调查，首轮抽取 $n$ 个患者进行试验，每个患者是否治愈相互独立．

(1)、假设 $p = \frac{1}{2}$ ，回答以下问题：
（ⅰ）若 $n = 10$ ，求患者痊愈比例为 $40 %$ 到 $60 %$ 的概率．
（ⅱ）该公司第二轮再抽取 $m$ 个患者进行试验．为简化运算过程，拟用 $C_{m + n}^{k} {(\frac{1}{2})}^{m + n}$ 计算两轮试验治愈总人数为 $k (k = 0, 1, 2, \cdot \cdot \cdot, m + n)$ 的概率，是否合理？若合理，请证明；若不合理，请说明理由．

(2)、在 $n$ 重伯努利试验中，随机变量 $X_{n} ～ B (n, p)$ ，随着试验次数增加，其概率计算较为复杂，此时，根据中心极限定理， $X_{n}$ 近似服从正态分布 $N (n p, n p (1 - p))$ ，故常用以下公式简化概率计算： $P (X_{n} \leq t) = ϕ (\frac{t - n p}{\sqrt{n p (1 - p)}})$ ，其中 $ϕ (x_{0}) = P (ξ \leq x_{0})$ ，随机变量 $ξ ～ N (0, 1)$ ．若用该公司首轮试验的治愈频率 $\hat{p}$ 来估计治愈率 $p$ ，为保证有 $90 %$ 把握，使得 $\hat{p}$ 与 $p$ 之间误差不超过0.01，则至少应抽取多少个患者？
参考数据： $ϕ (1.6) = 0.95$ ．

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18、对于数列 $\{a_{n}\}$ ，若 $\exists d \in R$ ，使得 $\forall n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n + 2} + 2 a_{n + 1} + a_{n} = d$ 成立，则称 $\{a_{n}\}$ 为“三和定值数列”．已知 $\{a_{n}\}$ 为“三和定值数列”，且 $a_{1} = 2$ ， $a_{2} = 4$ ， $d = 8$ ．

(1)、求 $a_{3}$ ， $a_{4}$ ， $a_{5}$ ；

(2)、已知 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，求 $S_{2025}$ ．

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19、如图， $P$ 为圆锥的顶点， $O$ 是圆锥底面的圆心， $A B$ 为底面直径， $C$ 为圆锥底面圆周上异于 $A, B$ 的一点， $D$ 为 $P A$ 上一点，且 $P B / /$ 平面 $O C D$ ．

(1)、求 $\frac{P D}{P A}$ 的值；

(2)、设 $P A = A B = 4$ ，二面角 $P - B C - O$ 的正切值为 $\sqrt{6}$ ，求直线 $P A$ 与平面 $O C D$ 所成角的大小．

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20、某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为 $1, 2, 3, 4$ 四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知甲先选择了 $1$ 号箱子，此时主持人打开 $2$ 号箱子的概率为，在主持人打开 $2$ 号箱子的情况下，奖品在 $4$ 号箱子的概率为．

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