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相关试卷

1、已知 $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形，若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\overset{⃑}{A B} = 2 \vec{a}$ ， $\overset{⃑}{B C} = \vec{b}$ ，则（）

A、 $\overset{⃑}{A C} = 2 \vec{a} + \vec{b}$ B、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 2$ C、 $(4 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \overset{⃑}{B C}$ D、 $| \vec{a} - \vec{b} | = 1$

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2、下列结论中错误的为（）

A、两个有共同起点的单位向量，其终点必相同 B、向量 $\vec{A B}$ 与向量 $\vec{B A}$ 的长度相等 C、对任意向量 $\vec{a}$ ， $\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ 是一个单位向量 D、零向量没有方向

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3、已知 $|\vec{a}| = 5$ ， $|\vec{b}| = 3$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 12$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{4}{3} \vec{b}$ B、 $- \frac{4}{3} \vec{b}$ C、 $\frac{2}{3} \vec{b}$ D、 $- \frac{2}{3} \vec{b}$

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4、在 $△ A B C$ 中，若 $a = 18, b = 24, A = 45 °$ ，则此三角形（）

A、无解 B、有两解 C、有一解 D、解的个数不确定

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5、已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（）

A、 $\vec{a} = \vec{0}$ ， $\vec{b} = \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ B、 $\vec{a} = 3 \vec{e_{1}} - 3 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ C、 $\vec{a} = \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ D、 $\vec{a} = \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = 2 \vec{e_{1}} - 4 \vec{e_{2}}$

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6、已知在 $△ A B C$ 中，角 $A, B$ 的对边分别为 $a, b$ ，若 $\frac{a}{\sin A} = \sqrt{2}, \sin B = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $b$ 的值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、2

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7、若复数 $z$ 满足 $(z - 1) i = 1$ ，则 $z + \bar{z} =$ （）

A、2 B、 $- 2$ C、1 D、 $- 1$

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8、设平面向量 $\vec{a} = (5, k), \vec{b} = (2, 8)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $k =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $- \frac{5}{4}$

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9、已知点 $F_{1} (- 1, 0), F_{2} (1, 0)$ ，动点 $T$ 满足 $|T F_{1}| + |T F_{2}| = 4$ ，动点 $T$ 的轨迹记为 $C$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l : x = 4$ 与 $x$ 轴交于点 $M, B$ 为 $l$ 上的动点，过 $B$ 作 $C$ 的两条切线，分别交 $y$ 轴于点 $P, Q$ .
①证明：直线 $B P, B F_{2}, B Q$ 的斜率成等差数列；
② $⊙ N$ 经过 $B, P, Q$ 三点，是否存在点 $B$ ，使得 $∠ P N Q = 90^{\circ}$ ？若存在，求 $|B M|$ ；若不存在，请说明理由.

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10、已知函数 $f (x) = ln (x + 1) - \frac{a x}{x + 1}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间与极值；

(2)、若 $f (x) ⩾ 0$ 恒成立，求 $a$ 的值；

(3)、求证： $sin \frac{1}{n + 1} + sin \frac{1}{n + 2} + \dots + sin \frac{1}{2 n} < ln 2 (n \in N^{*})$ .

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11、在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C,$ $P A ⊥$ 平面 $P B C$ .

(1)、求证： $P B ⊥ B C$ ；

(2)、若二面角 $P - A C - B$ 的余弦值为 $\frac{1}{3}$ ，且 $A B = 2,$ $B C = \sqrt{2}$ ，求 $P A$ .

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12、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{1 + sin A}{cos A} = \frac{1 + sin B}{cos B}$ .

(1)、判断 $△ A B C$ 的形状；

(2)、设 $A B = 1$ ，且 $D$ 是边 $B C$ 的中点，求当 $∠ C A D$ 最大时， $△ A B C$ 的面积.

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13、中国是茶的故乡，茶文化源远流长，博大精深.某兴趣小组，为了了解当地居民对喝茶的态度，随机调查了100人，并将结果整理如下：
单位：人
年龄段
态度
合计
不喜欢喝茶
喜欢喝茶
35岁以上（含35岁）
30
30
60
35岁以下
25
15
40
合计
55
45
100

(1)、依据小概率值 $α = 0.1$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验，能否据此推断该地居民喜欢喝茶与年龄有关？

(2)、以样本估计总体，用频率代替概率.该兴趣小组在当地喜欢喝茶的人群中，随机选出2人参加茶文化艺术节.抽取的2人中，35岁以下的人数记为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与期望.
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
参考数据：
$α$
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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14、已知过抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F (2, 0)$ 的直线与抛物线 $C$ 交于 $A, B$ 两点（ $A$ 在第一象限），以 $A B$ 为直径的圆 $E$ 与抛物线 $C$ 的准线相切于点 $D$ .若 $|A D| = \sqrt{3} |B D|,$ $O$ 为坐标原点，则 $△ A O B$ 的面积为.

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15、已知函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{6}) + cos ω x (ω > 0), f (x_{1}) = 0, f (x_{2}) = \sqrt{3}$ ，且 $|x_{1} - x_{2}|$ 的最小值为 $\frac{π}{2}$ ，则 $ω =$ .

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16、已知实数 $a, b, c$ 满足 $3^{a} = 6^{b} = c$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2$ ，则 $c =$ .

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17、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}, g (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ，则（）

A、 $f^{2} (x) - g^{2} (x) = 1$ B、对任意实数 $x, y, g (x + y) g (x - y) = g^{2} (x) + g^{2} (y)$ C、 $f (2 x) = f^{2} (x) + g^{2} (x)$ D、若直线 $y = t$ 与函数 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} > ln (1 + \sqrt{2})$

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18、已知 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 都是复数，下列正确的是（）

A、若 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ ，则 $z_{1} z_{2} \in R$ B、若 $z_{1} z_{2} \in R$ ，则 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ C、若 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则 $z_{1}^{2} = z_{2}^{2}$ D、若 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = 0$ ，则 $|z_{1}| = |z_{2}|$

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19、记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{n + 1}^{2} = a_{n}^{2} + 2 a_{n} + 1$ ，且 $a_{1} = 0$ ，则 $|S_{30}|$ 的最小值为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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20、已知某正三棱柱外接球的表面积为 $4 π$ ，则该正三棱柱体积的最大值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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年龄段	态度		合计
年龄段	不喜欢喝茶	喜欢喝茶	合计
35岁以上（含35岁）	30	30	60
35岁以下	25	15	40
合计	55	45	100

$α$	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828