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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = (x^{2} - m) e^{x}$ 在 $x = 0$ 处的切线与直线 $y = x - 1$ 垂直.

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x) \geq a x - 1$ 对任意 $x \in (- 1, + \infty)$ 恒成立，求实数 $a$ 的值；

(3)、对于函数 $f (x)$ ，规定： $f^{'} (x) = {[f (x)]}^{'}, f^{(2)} (x) = {[f^{'} (x)]}^{'}, \dots, f^{(n)} (x) = {[f^{(n - 1)} (x)]}^{'}$ ， $f^{(n)} (x)$ 叫做函数 $f (x)$ 的 $n$ 阶导数 $(n \in N^{*})$ .若对任意 $x \in (- 1, + \infty), f^{(n)} (x) > 0$ 恒成立，求满足条件的正整数 $n$ 的最小值.

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2、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，上顶点为 $P$ ，长轴长为 $4 \sqrt{2}$ ， $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程.

(2)、若椭圆 $C$ 上的两动点 $A$ ， $B$ 均在 $x$ 轴上方，且 $A F_{1} // B F_{2}$ ，求证： $\frac{1}{|A F_{1}|} + \frac{1}{|B F_{2}|}$ 的值为定值.

(3)、在（2）的条件下求四边形 $A B F_{2} F_{1}$ 的面积 $S$ 的取值范围.

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3、已知复数 $z, \bar{z}, z^{2}$ ，在复平面内对应的点分别为A，B，C，其中A在第一象限，且原点O是 $△ A B C$ 的外心.

(1)、求 $| z |$ .

(2)、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ${(b + c)}^{2} = a^{2} + 4 b c \sin^{2} \frac{A}{2}$ .
（i）证明： $△ A B C$ 是直角三角形；
（ii）求 $△ A B C$ 的面积.

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4、平面内，动点 $M (x, y)$ 与定点 $F (\sqrt{3}, 0)$ 的距离和 $M$ 到定直线 $l : x = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ 的距离的比是常数 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，记动点 $M$ 的轨迹为曲线 $E$ ．

(1)、求曲线 $E$ 的方程；

(2)、 $O$ 为坐标原点， $A, B$ 为曲线 $E$ 上不同两点，经过 $A, B$ 两点的直线与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切，求 $△ O A B$ 面积的最大值．

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5、某校开设农耕劳动教育课，共设置了两类课程：农作物种植和田间管理，学校对选择这两类课程的学生人数进行了统计，数据记录在如下表格.
男生
女生
农作物种植课程
160
80
田间管理课程
40
120

(1)、根据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，判断男生和女生在选择课程的偏好上是否有差异.

(2)、选择农作物种植课程的学生被分为6个小组，各小组种植的农作物存活率 $x_{i} % (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6)$ 分别为 $50 %$ ， $70 %$ ， $60 %$ ， $66 %$ ， $72 %$ ， $84 %$ .学校为了解存活率的偏差情况，需计算偏差系数w，其值越大，对大偏差数据的体现越明显.现给出两种计算偏差系数的方式：① $w_{1} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} | x_{i} - \bar{x} |$ ， ② $w_{2} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ，请比较哪一种方式对大偏差数据的体现更明显.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .
$α$
0.05
0.01
0.001
$x_{α}$
3.841
6.635
10.828

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6、已知某圆柱与圆锥的高相等，它们的体积之比等于侧面积之比的平方，则圆柱与圆锥的母线长之比为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7、已知函数 $f (x) = \cos^{2} ω x + \sqrt{3} \sin ω x \cos ω x + m$ （ $ω > 0$ ， $m \in R$ ）的最大值为 $\frac{3}{2}$ ，最小正周期为 $π$ ，若函数 $f (x)$ 在区间 $[0, t]$ （ $t > 0$ ）上有且仅有1个零点，则 $t$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{π}{2}, \frac{5 π}{6})$ B、 $[\frac{π}{2}, \frac{5 π}{6}]$ C、 $[\frac{5 π}{12}, \frac{11 π}{12})$ D、 $[\frac{5 π}{12}, \frac{11 π}{12}]$

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8、已知袋中装有红色、黄色、绿色的小球各5个，小球除了颜色外完全相同，现从中随机取出5个小球，则不同的取法种数为（）

A、15 B、19 C、21 D、23

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9、为了解某市居民用水情况，通过简单随机抽样，获得了100户居民用户的月均用水量（单位： $t$ ），将该数据按照 $[1.2, 4.2), [4.2, 7.2), \dots, [25.2, 28.2]$ ，分成9组，绘制了如图所示的频率分布直方图．政府要对节约用水的用户予以表彰，制定了一个用水量标准 $x$ ，使表彰的居民不超过15.4%，则以下比较适合作为标准 $x$ 的为（）

A、3.2 B、5 C、5.04 D、15.7

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10、已知集合 $A = {x \in Z | x^{2} \leq 5}$ ， $B = {x | - 1 \leq x < e}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0, 1, 2}$ B、 ${- 1, 0, 1, 2}$ C、 ${1, 2}$ D、 ${1, 2, 3}$

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11、函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ), (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的一段图象如图所示
（1）求 $f (x)$ 的解析式；
（2）把 $f (x)$ 的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？

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12、如图，正方形ABCD边长为1，P，Q分别为边AB，DA上的点.

(1)、当 $∠ P C Q = \frac{π}{4}$ 时，求 $△ C P Q$ 的面积最小值（ $△ C P Q$ 的面积公式是 $S = \frac{\sqrt{2}}{4} C P \cdot C Q$ ）；

(2)、求当 $Δ A P Q$ 的周长为2时，求 $∠ P C Q$ 的大小.

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13、已知函数 $f (x) = \sin (x + \frac{π}{6}) + \sin (x - \frac{π}{6}) + \cos x + a$ 在 $x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 时的最大值为1.

(1)、求常数 $a$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(3)、求使 $f (x) \geq 0$ 成立的 $x$ 的取值集合.

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14、已知 $α$ ， $β$ 为锐角， $\sin α = \frac{4}{5}$ ， $\tan (α + β) = - 2$ ．
（1）求 $\tan β$ 的值；
（2）求 $\cos (α - β)$ 的值．

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15、已知函数 $f (x) = sin ω x + \sqrt{3} cos ω x (ω > 0), f (\frac{π}{6}) + f (\frac{π}{2}) = 0, f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{6}, \frac{π}{2})$ 上单调递减，则 $ω =$ .

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16、计算 $\frac{\sqrt{3}}{\cos 10 °} - \frac{1}{\sin 10 °} =$ .

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17、函数 $y = 2 sin (\frac{π}{6} - 2 x)$ 的单调递增区间是．

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18、已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} sin 2 x - \frac{1}{2} cos 2 x + \frac{1}{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称 C、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = m$ 有解，则 $m \in [- 1, \frac{3}{2}]$ D、若 $A$ 为锐角 $△ A B C$ 的一个内角，且 $f (\frac{A}{2}) = \frac{5}{6}$ ，则 $sin A = \frac{\sqrt{3} + 2 \sqrt{2}}{6}$

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19、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如下图所示，则下列给论中正确的是（）

A、 $φ = \frac{π}{3}$ B、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$ 上单调递增 C、 $x = - \frac{11π}{12}$ 是函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴 D、若 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| = 2$ ，则 $|x_{2} - x_{1}|$ 的最小值为 $\frac{π}{2}$

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20、已知 $a \in (0, π)$ ，且 $\sin α + \cos α = \frac{1}{2}$ ，则 $\cos 2 a$ 的值为

A、 $\pm \frac{\sqrt{7}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ C、 $- \frac{\sqrt{7}}{4}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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	男生	女生
农作物种植课程	160	80
田间管理课程	40	120

$α$	0.05	0.01	0.001
$x_{α}$	3.841	6.635	10.828