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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = cos 2 x - 2 \sqrt{3} sin x cos x$ ，则下列命题正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ； B、函数 $f (x)$ 的图象关于 $x = \frac{π}{3}$ 对称； C、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{2 π}{3}, - \frac{π}{6}]$ 上单调递增； D、将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度后所得到的图象与函数 $y = 2 sin 2 x$ 的图象重合.

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2、十七世纪法国数学家､被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.其答案如下：当三角形的三个角均小于 $120^{\circ}$ 时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成 $120^{\circ}$ 角；当三角形有一内角大于或等于 $120^{\circ}$ 时，所求的点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点被称为费马点.已知 $a, b, c$ 分别是 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边，且 $a^{2} + c^{2} - b^{2} = 3, 2 sin B sin (C + \frac{π}{3}) = \sqrt{3} sin A$ ，若 $P$ 为 $△ A B C$ 的费马点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P A} \cdot \vec{P C} =$ （）

A、-1 B、-2 C、-3 D、 $- \frac{3}{2}$

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3、已知函数 $f (x) = 2 \sin^{2} ω x + \sqrt{3} \sin 2 ω x (ω > 0)$ 在 $(0, π)$ 上恰有两个零点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{2}{3}, 1]$ B、 $(1, \frac{5}{3}]$ C、 $[\frac{2}{3}, 1)$ D、 $[1, \frac{5}{3})$

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4、已知三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B$ ， $A C$ ， $A D$ 两两互相垂直，且 $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $A C = 2$ ， $A D = 2$ ，若三棱锥 $A - B C D$ 的所有顶点都在球 $O$ 的表面上，则球 $O$ 的体积为（）

A、 $32 π$ B、 $16 π$ C、 $\frac{32}{3} π$ D、 $\frac{16}{3} π$

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5、如图，在 $△ A B C$ 中，点 $M$ ， $N$ 满足 $\vec{A M} = \vec{M B}$ ， $\vec{B N} = 3 \vec{N C}$ ，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $\frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C}$ B、 $\frac{1}{4} \vec{A B} - \frac{3}{4} \vec{A C}$ C、 $- \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C}$ D、 $- \frac{1}{4} \vec{A B} - \frac{3}{4} \vec{A C}$

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6、若 $α$ 为第二象限角且 $\cos α = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，则 $\tan 2 α =$ （）

A、 $- \frac{4 \sqrt{2}}{7}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{4 \sqrt{2}}{7}$

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7、已知复数 $z$ 满足 $(1 - 2 i) z = 2 + i$ ，则 $|z| =$ （）

A、3 B、2 C、1 D、 $\sqrt{5}$

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8、已知集合 $A = \{1 - a, a^{2} - 2 a - 1\}$ ，且 $2 \in A$ ，则 $a =$ .

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9、已知某校共有1000名学生参加体能达标测试，现从中随机抽取100名学生的成绩，将他们的测试成绩(满分：100分)分为6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，得到如下频数分布表.
成绩/分
[40，50)
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100]
频数
10
15
20
30
15
10
（1）求这100名学生的体能测试平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
（2）在这100名学生中，规定：测试成绩不低于80分为“优秀”，成绩低于80分为“非优秀”.请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为体能测试成绩是否优秀与性别有关？
优秀
非优秀
总计
男生
30
女生
50
总计
（3）根据样本数据，可认为该校全体学生的体能测试成绩X近似服从正态分布N(μ，14.31²)，其中μ近似为样本平均数 $\bar{x}$ ，则这1000名学生中体能测试成绩不低于84.81分的估计有多少人？
参考公式及数据：X~N(μ，σ²)，P(μ-σ≤X<μ+σ)≈0.6827，P(μ-2σ≤X<μ+2σ)≈0.9545；
$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中n=a+b+c+d.
P(K²≥k₀)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k₀
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

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10、某革命老区县因地制宜的将该县打造成“生态水果特色小县”.该县某水果树的单株产量 $φ$ （单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系： $φ (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 30, 0 \leq x \leq 3 \\ 43 - \frac{4}{x - 2}, 3 < x \leq 6 \end{array}$ ，且单株施用肥料及其它成本总投入为 $10 x$ 元.已知这种水果的市场售价为10元/千克.在国务院关于新时代支持革命老区振兴发展的意见，支持发展特色农业产业的保障下，该县水果销路畅通.记该水果树的单株利润为 $f (x)$ （单位：元）.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？

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11、函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $R$ ，若对满足 $x_{2} - x_{1} = t (t > 0)$ 的任意 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，均有 $f (x_{2}) - f (x_{1}) > t$ ，则称函数 $y = f (x)$ 具有“ $P (t)$ 性质”，已知 $f (x) = a x^{3}$ ，且函数 $y = f (x)$ 具有 $P (1)$ 性质，则实数 $a$ 的取值范围为．

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12、已知函数 $f (x) = x {(ln x)}^{2} - 3 x$ 在区间 $[α, β]$ 内单调递减，则 $\frac{β}{α}$ 的最大值为．

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13、当 $x \in [0, 2 π]$ 时，曲线 $y = \cos x$ 与 $y = 2 \cos (3 x - \frac{π}{6})$ 交点的个数为．

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14、函数 $f (x) = 2 \sin (2 ω x + \frac{π}{3}) (0 < ω < 1)$ 的图象如图所示，将其向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到 $y = g (x)$ 的图象，则下列说法正确的是（）

A、 $ω = \frac{1}{2}$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{3}, 0)$ 对称 C、函数 $y = g (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称 D、函数 $y = g (2 x + \frac{π}{3})$ 在 $[- \frac{π}{9}, \frac{π}{9}]$ 上单调递减

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15、在 ${(\frac{3}{x^{2}} + \sqrt{x})}^{5}$ 的二项展开式中，以下判断正确的是（）

A、所有项的系数之和为1024 B、各二项式系数之和为32 C、第3项系数最大 D、常数项的值为90

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16、设 $f (x) = \frac{1}{\cos x}$ ，将 $f (x)$ 的图像向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到 $g (x)$ 的图像，设 $h (x) = f (x) + g (x)$ ， $x \in [\frac{π}{12}, \frac{π}{4}]$ ，则 $h (x)$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、 $3 \sqrt{6}$

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17、当 $α$ 变动时，动直线 $x cos 2 α + y sin 2 α = 4 {cos}^{2} α$ 围成的封闭图形的面积为（）

A、 $π$ B、 $\sqrt{2} π$ C、 $2 π$ D、 $4 π$

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18、一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数为（）

A、5760 B、5660 C、5642 D、5472

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19、不等式 $(x^{2} - a x - 1) (x - b) \geq 0$ 对任意 $x > 0$ 恒成立，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2} - 2$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2} + 2$

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20、设函数 $f (x) = \ln (a x + b)$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $x - 2 y + 2 \ln 2 - 1 = 0$ .

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) - \frac{x}{x + 1}$ ，求 $g (x)$ 的单调区间；

(3)、求证：当 $x \geq 0$ 时，有 $f (x) \geq x e^{- x}$ .

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成绩/分	[40，50)	[50，60)	[60，70)	[70，80)	[80，90)	[90，100]
频数	10	15	20	30	15	10

P(K²≥k₀)	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

	优秀	非优秀	总计
男生		30
女生			50
总计