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相关试卷

1、双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}, |F_{1} F_{2}| = 4$ ，且 $C$ 的一条渐近线与直线 $l : \sqrt{3} x - y + 1 = 0$ 平行，则双曲线 $C$ 的标准方程为（）

A、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{4} = 1$

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2、《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述，比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺，问这块圆柱形木料的直径是多少？长为0.5丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）.已知弦 $A B = 1$ 尺，弓形高 $C D = 1$ 寸，估算该木材镶嵌墙内部分的体积约为（）（注：一丈=10尺=100寸， $π \approx 3.14, \sin 22.5 ° \approx \frac{5}{13}$ ）

A、300立方寸 B、305.6立方寸 C、310立方寸 D、316.6立方寸

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3、 $(x + \frac{2}{x}) {(x - 1)}^{6}$ 的展开式中，常数项为（）

A、 $12$ B、 $- 12$ C、 $- 10$ D、 $10$

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4、若复数 $z$ 满足 $\frac{i + z}{z} = i + 2$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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5、已知 $p : x \in A$ ， $q : x \in A \cap B$ ，则p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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6、已知 $\bar{A}$ ， $\bar{B}$ 分别为随机事件A，B的对立事件， $P (A) > 0$ ， $P (B) > 0$ ，则（）

A、 $P (B | A) + P (\bar{B} | A) = 1$ B、 $P (B | A) + P (\bar{B} | A) = P (A)$ C、若A，B独立，则 $P (A| B) = P (A)$ D、若A，B互斥，则 $P (A | B) = P (B | A)$

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7、已知向量 $\vec{a} = (3, 1), \vec{b} = (- 2, x)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $| \vec{b} | =$ （）

A、2 B、3 C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{10}}{3}$

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8、下列命题为真命题的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} > a b > b^{2}$ D、若 $a < b$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

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9、已知指数函数 $f (x) = 3^{x}$ ．

(1)、求 $f (2)$ 的值；

(2)、若 $f (a) = 1$ ，求 $a$ 的值；

(3)、若 $f (x - 1) > f (- x)$ ，求 $x$ 的取值范围．

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10、在等腰梯形 $A B C D$ 中， $\overset{⃑}{A B} = - 2 \overset{⃑}{C D}$ .M为 $B C$ 的中点，则 $\overset{⃑}{A M} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \overset{⃑}{A B} + \frac{1}{2} \overset{⃑}{A D}$ B、 $\frac{3}{4} \overset{⃑}{A B} + \frac{1}{2} \overset{⃑}{A D}$ C、 $\frac{3}{4} \overset{⃑}{A B} + \frac{1}{4} \overset{⃑}{A D}$ D、 $\frac{1}{2} \overset{⃑}{A B} + \frac{3}{4} \overset{⃑}{A D}$

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11、已知空间向量 $\overset{⃑}{i}$ 、 $\overset{⃑}{j}$ 、 $\overset{⃑}{k}$ 都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（）

A、向量 $\overset{⃑}{i} + \overset{⃑}{j} + \overset{⃑}{k}$ 的模是 $3$ B、 $\{\overset{⃑}{i} + \overset{⃑}{j}, \overset{⃑}{i} - \overset{⃑}{j}, \overset{⃑}{k}\}$ 可以构成空间的一个基底 C、向量 $\overset{⃑}{i} + \overset{⃑}{j} + \overset{⃑}{k}$ 和 $\overset{⃑}{k}$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、向量 $\overset{⃑}{i} + \overset{⃑}{j}$ 与 $\overset{⃑}{k} - \overset{⃑}{j}$ 共线

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12、已知命题 $p : \exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} + (a - 1) x_{0} + 1 < 0$ ，若命题 $p$ 是假命题，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $1 < a \leq 3$ B、 $- 1 \leq a \leq 3$ C、 $1 < a < 3$ D、 $0 \leq a \leq 2$

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13、已知集合 $A = \{x \in N| - 1 < x < 3\}$ ， $B = \{x| - 2 \leq x < 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x| - 1 < x < 2\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{0, 1, 2\}$

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14、已知椭圆 $C_{1}$ ，抛物线 $C_{2}$ 的焦点均在 $x$ 轴上， $C_{1}$ 的中心和 $C_{2}$ 的顶点均为原点 $O$ ，从 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 上分别取两个点，将其坐标记录于下表中：
$x$
3
-2
4
$\sqrt{2}$
$y$
$- 2 \sqrt{3}$
0
-4
$\frac{\sqrt{6}}{2}$
（1）求 $C_{1}, C_{2}$ 的标准方程；
（2）若直线 $l : y = k x + m (k \neq 0)$ 与椭圆 $C_{1}$ 交于不同的两点 $M, N$ ，且线段 $M N$ 的垂直平分线过定点 $G (\frac{1}{8}, 0)$ ，求实数 $k$ 的取值范围.

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15、在数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + 2^{n} - 1$ .
（1）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；
（2）记 $b_{n} = a_{n} + (1 - λ) n$ ，且数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{2}$ 为数列 ${S_{n}}$ 中的最小项，求 $λ$ 的取值范围.

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16、定义 $\max \{a, b\} = \{\begin{array}{l} a & a \geq b \\ b & b > a \end{array}$ ，设函数 $f (x) = x + 1$ ， $g (x) = {(x + 1)}^{2}$ ，记函数 $F (x) = \max {f (x), g (x)}$ ，且函数 $F (x)$ 在区间 $[m, n]$ 的值域为 $[0, 1]$ ，则 $| n - m |$ 的最大值为（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{7}{4}$ D、2

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17、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知直线 $y = x$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 交于点A，B（A在x轴上方），且 $A B = \frac{2 \sqrt{6}}{3} a$ ．设点A在x轴上的射影为N，三角形ABN的面积为2（如图1）．
（1）求椭圆的方程；
（2）设平行于AB的直线与椭圆相交，其弦的中点为Q．
①求证：直线OQ的斜率为定值；
②设直线OQ与椭圆相交于两点C，D（D在x轴的上方），点P为椭圆上异于A，B，C，D一点，直线PA交CD于点E，PC交AB于点F，如图2，求证： $A F \cdot C E$ 为定值．

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18、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $B D ⊥ P C ， ∠ A {B C = 60}^{\circ}$ ，四边形 $A B C D$ 是菱形， $P B = \sqrt{2} A B = \sqrt{2} P A ， E$ 是棱 $P D$ 上的动点，且 $\vec{P E} = λ \vec{P D}$ ．

(1)、证明： $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(2)、是否存在实数 $λ$ ，使得平面 $P A B$ 与平面 $A C E$ 所成锐二面角的余弦值是 $\frac{2 \sqrt{19}}{19}$ ?若存在，求出 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由．

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19、会员足够多的某知名咖啡店，男会员占60％，女会员占40％．现对会员进行服务质量满意度调查．根据调查结果得知，男会员对服务质量满意的概率为 $\frac{5}{6}$ ，女会员对服务质量满意的概率为 $\frac{5}{8}$ ．

(1)、随机选取一名会员，求其对服务质量满意的概率；

(2)、从会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务质量满意的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望．

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20、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\frac{1}{a_{n + 1}} - \frac{1}{a_{n}} = d$ （ $n \in N^{*}$ ， $d$ 为常数），则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“调和数列”.已知数列 $\{b_{n}\}$ 为“调和数列”，下列说法正确的是（）

A、若 $\sum_{i = 1}^{20} \frac{1}{b_{i}} = 20$ ，则 $b_{10} + b_{11} = b_{10} b_{11}$ B、若 $b_{n} = \frac{2 n + 1}{c_{n}}$ ，且 $c_{1} = 3$ ， $c_{2} = 15$ ，则 $b_{n} = \frac{1}{2 n - 1}$ C、若 $\{b_{n}\}$ 中各项均为正数，则 $b_{n + 1} \leq \frac{b_{n} + b_{n + 2}}{2}$ D、若 $b_{1} = 1$ ， $b_{2} = \frac{1}{2}$ ，则 $\sum_{i = 2}^{n + 1} [b_{i} \cdot \ln (i - 1)] \leq \frac{n^{2} - n}{4}$

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$x$	3	-2	4	$\sqrt{2}$
$y$	$- 2 \sqrt{3}$	0	-4	$\frac{\sqrt{6}}{2}$