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相关试卷

1、关于空间向量，以下说法正确的是（）

A、已知两个向量 $\vec{a} = (m, 1, 3), \vec{b} = (- 1, 5, n)$ ，且 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $m n = - 3$ B、已知 $\vec{a} = (0, 1, 1), \vec{b} = (0, 0, - 1)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $(0, - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$ C、设 ${\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}}$ 是空间的一个基底，则 ${\vec{a} - \vec{b}, \vec{b}, \vec{c}}$ 也是空间的一个基底 D、若对空间中任意一点 $O$ ，有 $\vec{O P} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{O B} - \frac{1}{4} \vec{O C}$ ，则 $P, A, B, C$ 四点共面

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2、如图，菱形 $A B C D$ 边长为 $2$ ， $∠ B A D = 60 °$ ， $E$ 为边 $A B$ 的中点，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起，使 $A$ 到 $A^{'}$ ，连接 $A^{'} B$ ，且 $A^{'} D ⊥ D C$ ，平面与 $A^{'} B E$ 平面 $A^{'} C D$ 的交线为 $l$ ，则下列结论中错误的是（）

A、平面 $A^{'} D E ⊥$ 平面 $A^{'} B E$ B、 $C D / / l$ C、 $B C$ 与平面 $A^{'} D E$ 所成角的余弦值为 $\frac{1}{2}$ D、二面角 $E - A^{'} B - D$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{7}}{7}$

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3、如图，设每个电子元件能正常工作的概率为 $p$ ，则电路能正常工作的概率为（）

A、 $p + p^{2}$ B、 $p + p^{2} - p^{3}$ C、 $p^{3}$ D、 $p^{2} + p^{3}$

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4、如右图在一个二面角的棱上有两个点 $A$ ， $B$ ，线段 $AC ， BD$ 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱 $AB$ ， $AB = 4 cm ， AC = 6 cm ， BD = 8 cm ， CD = 2 \sqrt{17} cm$ ，则这个二面角的度数为

A、30° B、60° C、90° D、120°

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5、若 $\overset{⃑}{O A}$ 、 $\overset{⃑}{O B}$ 、 $\overset{⃑}{O C}$ 为空间三个单位向量， $\overset{⃑}{O A} ⊥ \overset{⃑}{O B}$ ，且 $\overset{⃑}{O C}$ 与 $\overset{⃑}{O A}$ 、 $\overset{⃑}{O B}$ 所成的角均为 $60^{\circ}$ ，则 $|\overset{⃑}{O A} + \overset{⃑}{O B} + \overset{⃑}{O C}| =$ （）

A、5 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{6}$

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6、如图所示，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ， M是 $A_{1} D_{1}$ 的中点，N是线段 $C A_{1}$ 上的点，且 $C N : N A_{1} = 1 : 4$ ，用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示向量 $\vec{N M}$ 的结果是（）

A、 $\frac{4}{5} \vec{c} - \frac{4}{5} \vec{a} - \frac{3}{10} \vec{b}$ B、 $- \frac{1}{5} \vec{a} - \frac{1}{5} \vec{b} + \frac{4}{5} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{5} \vec{a} - \frac{3}{10} \vec{b} - \frac{1}{5} \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

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7、已知函数 $f (x) = x^{2} e^{a x}$ ，其中 $a > 0$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间和极值；

(3)、若关于x的不等式 $f (x) \leq e^{a^{2}}$ 在 $[a, + \infty)$ 上有解，求实数a的取值范围．

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8、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P D ⊥$ 底面 $A B C D, P D = D C = 2 A D = 2, E$ 是 $P C$ 的中点.

(1)、证明： $P A / /$ 平面 $E D B$ ；

(2)、求平面 $E D B$ 与平面 $P A D$ 夹角的余弦值；

(3)、在棱 $P B$ 上是否存在一点 $F$ ，使直线 $E F$ 与平面 $E D B$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，若存在，求出线段 $B F$ 的长；若不存在，说明理由.

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9、直线 $6 x + 8 y - 2 = 0$ 与 $3 x + 4 y - 3 = 0$ 间的距离为

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10、现有标号依次为1，2，…，n的n个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从 $n - 1$ 号盒子里取出2个球放入n号盒子为止．

(1)、当 $n = 2$ 时，求2号盒子里有2个红球的概率；

(2)、当 $n = 3$ 时，求3号盒子里的红球的个数 $ξ$ 的分布列；

(3)、记n号盒子中红球的个数为 $X_{n}$ ，求 $X_{n}$ 的期望 $E (X_{n})$ ．

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11、某企业协会规定：企业员工一周7天要有一天休息，另有一天的工作时间不超过4小时，且其余5天的工作时间均不超过8小时（每天的工作时间以整数小时计），则认为该企业“达标”．请根据以下企业上报的一周7天的工作时间的数值特征，判断其中无法确保“达标”的企业有（）

A、甲企业：均值为5，中位数为8 B、乙企业：众数为6，中位数为6 C、丙企业：众数和均值均为5，下四分位数为4，上四分位数为8 D、丁企业：均值为5，方差为6

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12、已知EF是棱长为8的正方体的一条体对角线，空间一点M满足 $\vec{M E} \cdot \vec{M F} = - 40$ ， AB是正方体的一条棱，则 $\vec{A M} \cdot \vec{A B}$ 的最小值为（）

A、 $16 (\sqrt{2} - 4)$ B、 $16 (2 - \sqrt{2})$ C、 $16 (4 - \sqrt{2})$ D、 $16 (\sqrt{2} - 2)$

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13、如图， $M N ⊥ M A$ ， $M N ⊥ N B$ ，垂足分别为 $M$ ， $N$ ，异面直线 $M A$ ， $N B$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ ， $|M N| = 2$ ，点 $P$ ，点 $Q$ 分别是直线 $M A$ ， $N B$ 上的动点，且 $|P Q| = 4$ ，设线段 $P Q$ 的中点为 $R$ .

(1)、求异面直线 $M N$ 与 $P Q$ 所成的角；

(2)、求 $|M R|$ 的取值范围；

(3)、求四面体 $M N P Q$ 的体积的最大值.

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14、已知圆 $A$ ： ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 64$ ，点 $B (2, 0)$ ，点 $P$ 是圆A上任意一点.线段 $B P$ 的垂直平分线 $l$ 和半径 $A P$ 相交于点 $Q$ ，与圆A交于 $M$ ， $N$ 两点，则当点 $P$ 在圆A上运动时，

(1)、求点 $Q$ 的轨迹方程；

(2)、证明：直线 $M N$ 是点 $Q$ 轨迹的切线；

(3)、求 $△ P M N$ 面积的最大值.

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15、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P D = P C = 2 \sqrt{3}$ ， $A D = C D = 3$ ， $A B = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ， $A B ⊥ A D$ .

(1)、证明： $A D //$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求平面 $P B C$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值.

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16、已知点 $M$ 与点 $N$ 关于直线 $l$ ： $y = 2 x + \frac{3}{2}$ 对称，圆 $M$ ： $x^{2} + {(y - 4)}^{2} = r^{2}$ （ $0 < r < 6$ ），圆 $N$ 的半径为 $6 - r$ ，且圆 $M$ 与圆 $N$ 交于 $A$ ， $B$ 两点.

(1)、求 $r$ 的取值范围；

(2)、当 $r = 3$ 时，求 $△ M N A$ 的面积.

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17、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\cos C = \sqrt{2} \sin B$ ， $a^{2} + c^{2} - b^{2} = \sqrt{3} a c .$

(1)、求 $A$ ；

(2)、过点 $A$ 作 $A D ⊥ B C$ 交 $B C$ 于点 $D$ ， $E$ 是 $B C$ 的中点，连接 $A E$ .若 $A D = 2$ ，求 $A E$ 的长度.

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18、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别为棱 $B C$ ， $C_{1} D_{1}$ 的中点，则四面体 $A B_{1} E F$ 的外接球的表面积为.

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19、已知圆 $C$ ： ${(x - 1)}^{2} + {(y - b)}^{2} = 32$ ，直线 $l : y = x$ ，若直线 $l$ 与圆 $C$ 相切，则 $b =$ .

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20、已知椭圆 $C$ ： $\frac{y^{2}}{9} + \frac{x^{2}}{4} = 1$ ，直线 $l$ ： $3 x - 2 y + m = 0$ ，（）

A、若直线 $l$ 与椭圆 $C$ 有公共点，则 $- 6 \sqrt{2} \leq m \leq 6 \sqrt{2}$ B、若 $m = 10 \sqrt{2}$ ，则椭圆 $C$ 上的点 $P$ 到直线 $l$ 的最小距离为 $\frac{4 \sqrt{26}}{13}$ C、若直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，则线段 $A B$ 的长度可能为6 D、若直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，则线段 $A B$ 的中点在直线 $3 x + 2 y = 0$ 上

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