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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (2 m, 3)$ ， $\vec{b} = (1, - 1)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $m =$ .

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2、某校数学兴趣小组的成员在研究一组数字，已知该组数字均为正整数，总个数为M，其中最大的数字为E（ $E \geq 4$ ），且在 $[1, E]$ 内的每一个整数均出现在该组数字中，该组数字满足如下规律：对该组数字中的任意正整数a（ $a < E$ ），数字a的个数是所有不小于a的数字的个数的10%.现在从这组数字中任取一个数字，记“数字为n”为事件 $A_{n}$ ， “数字不小于n”为事件 $B_{n}$ ，其中 $n < E$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $P (A_{2}) = \frac{1}{100}$ B、 $P (B_{n}) = {(\frac{9}{10})}^{n - 1}$ C、 $P (A_{E}) = {(\frac{9}{10})}^{E - 1}$ D、 $P (B_{n + 1}) = 10 P (A_{n + 1})$

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3、若 $(2 + i) \cdot z = 3 + a i$ （ $a \in N$ ），则（）

A、z有可能为实数 B、z不可能为纯虚数 C、 $|z|$ 的最小值为 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、若 $|z| = 3$ ，则 $a = 6$

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4、对于二项式 ${(\sqrt{x} - \frac{1}{2 x})}^{6}$ ，下列说法正确的是（）

A、展开式中的常数项为 $\frac{15}{4}$ B、展开式中的常数项为 $\frac{15}{2}$ C、展开式中的有理项有3项 D、展开式中的有理项有4项

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5、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，设 $F_{1} ， F_{2}$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 的直线与双曲线的两支分别交于点 $A ， B ，$ 若 $△ A B F_{2}$ 为正三角形，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{7}$

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6、函数 $f (x) = \tan x + \frac{1}{x^{3}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7、如图所示， $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是棱长为 $3$ 的正方体， $M$ ， $N$ 分别是下底面的棱 $A_{1} B_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点， $P$ 是上底面的棱 $A D$ 上的一点， $2 A P = D P$ ，过点 $P$ ， $M$ ， $N$ 的平面交上底面于 $P Q$ ，点 $Q$ 在 $C D$ 上，则 $P Q =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2$

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8、在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} + a_{4} = 1$ ， $a_{6} + a_{8} = 9$ ，则 $a_{2} =$ （）

A、3 B、4 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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9、函数 $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ 的图象在点 $(2, f (2))$ 处的切线方程为（）

A、 $x - y = 0$ B、 $x + y - 2 = 0$ C、 $x + y - 4 = 0$ D、 $x - y + 2 = 0$

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10、某餐饮店在网络平台推出一些团购活动后，每天团购券的核销量 $X \sim N (100, 256)$ （单位：张），则200天中团购券的核销量在84到132张的天数大约是（）
（若随机变量 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ）

A、191 B、137 C、159 D、164

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11、若抛物线 $x^{2} = 2 p y$ （ $p > 0$ ）的焦点到准线的距离为 $2$ ，则该抛物线的焦点坐标为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(0, 2)$ C、 $(1, 0)$ D、 $(2, 0)$

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12、已知集合 $A = \{1, 2, 4, 7, 9\}$ ， $B = \{x| 1 < x < 9\}$ ，则集合 $A \cap B =$ （）

A、 $[1, 9]$ B、 $\{2, 4, 7\}$ C、 $\{2, 4, 7, 9\}$ D、 $\{1, 2, 4, 7, 9\}$

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13、若函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数， $f (x) = f (2 - x)$ ，当 $0 < x \leq 1$ 时， $f (x) = x^{2} - x$ ，则（）

A、 $f (2) = 0$ B、函数 $f (x)$ 图象关于直线 $x = 2$ 对称 C、函数 $f (x)$ 图象关于点 $(2, 0)$ 中心对称 D、当 $- 1 \leq x \leq 0$ 时， $f (x) = - x^{2} + x$

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14、函数 $f (x) = a ln x + \frac{1}{2} x^{2} - (a + 1) x + \frac{3}{2} (a > 0)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调增区间；

(2)、当 $a = 1$ 时，若 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$ ，求证： $x_{1} + x_{2} \geq 2$ ；

(3)、求证：对于任意 $n \in N^{*}$ 都有 $2 ln (n + 1) + \sum_{i = 1}^{n} {(\frac{i - 1}{i})}^{2} > n$ .

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15、已知 $ω > 0$ ，函数 $f (x) = \cos (ω x + \frac{π}{6})$ ，下列选项正确的有（）

A、若 $f (x)$ 的最小正周期 $T = \frac{π}{2}$ ，则 $ω = 4$ ； B、当 $ω = 2$ 时，函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 后得到 $g (x) = \cos 2 x$ 的图象； C、若 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{2}, π)$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值范围是 $[\frac{5}{3}, \frac{11}{6}]$ ； D、若 $f (x)$ 在区间 $[0, π]$ 上有两个零点，则 $ω$ 的取值范围是 $(\frac{4}{3}, \frac{7}{3}]$ ；

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ ，定义 $S (i, j) = a_{i} + a_{i + 1} + \dots + a_{j}$ ，其中i， $j \in N^{*}$ 且 $i < j .$

(1)、若 $a_{n} = 2 n - 1$ ，求 $S (1, 3)$ 和 $S (4, 6);$

(2)、若 $a_{n} = 2^{n}$ ，证明：对于 $\forall i, j, u, v \in N^{*}$ 且 $i < j$ ， $u < v$ ， $i \neq u$ ，都有 $S (i, j) \neq S (u, v);$

(3)、对于 $k = 3$ ， 4， $\dots$ ， n，设 $T_{k} = {b_{k} | b_{k} = λ_{1} a_{1} + \dots + λ_{n} a_{n} ， λ_{i} \in \{0, 1\} ， S (1, k - 1) < b_{k} \leq S (1, k)} .$ 若正项数列 $\{a_{n}\}$ 为递增数列，求证： $T_{k}$ 中至少有两个不同的元素，且 $T_{k}$ 中最大元素与最小元素之比小于 $2.$

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17、双曲线 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 左顶点为A，实轴长是虚轴长的2倍，其左焦点坐标为 $(- \sqrt{5}, 0)$ ，过A点的两条直线分别交双曲线 $Γ$ 的右支于点P，Q，且 $k_{A P} \cdot k_{A Q} = - \frac{1}{8} .$

(1)、求双曲线 $Γ$ 的方程；

(2)、（ⅰ）证明：直线PQ过定点；
（ⅱ）直线AP，AQ，PQ分别交直线 $x = 8$ 于点M，N，T，若 $S_{△ P M T} = S_{△ Q N T}$ ，求PQ的直线方程.

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18、已知函数 $f (x) = a ln x + \frac{1}{x}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调增区间；

(2)、证明：当 $a > 0$ 时， $f (x) \geq 4 - \frac{2}{a} - a^{2}$ ．

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形，其中 $A D ⊥ B D$ ， $P A = P D = A D = B D = 2$ ， $P B = 2 \sqrt{2}$ ，点 $F$ 为棱 $P D$ 上一点.

(1)、当 $F$ 为 $P D$ 的中点时，证明： $A F ⊥ B P$ ；

(2)、若直线 $A F$ 与平面 $P D C$ 的所成角的正弦值为 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ ，求 $P F$ 的大小.

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20、记锐角 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $cos (B - A) = cos A + cos C .$

(1)、求B的大小；

(2)、若 $sin A$ ， $sin B$ ， $sin C$ 成等差数列，且 $△ A B C$ 的外接圆半径为1，求 $△ A B C$ 的面积.

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