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1、函数 $f (x) = |2 x - 1| + |x - 2| + 1$
（1）若方程 $f (x) = m$ 无实根，求实数 $m$ 的取值范围；
（2）记 $f (x)$ 的最小值为 $n$ .若 $a$ ， $b > 0$ ，且 $5 a + 5 b = 2 n$ ，证明： $a + 4 b - 9 a b \geq 0$ .

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2、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \cos^{2} ω x - \sin ω x \cos ω x - \frac{\sqrt{3}}{2} (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ．
（1）求 $f (\frac{π}{12})$ 的值；
（2）当 $x \in [0, \frac{7 π}{12}]$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间及取值范围．

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3、下列说法中错误的是（填序号）
①命题“ $\exists x_{1}, x_{2} \in M, x_{1} \neq x_{2}$ ，有 $[f (x_{1}) - f (x_{2})] (x_{2} - x_{1}) > 0$ ”的否定是“ $\forall x_{1}, x 2 \notin M, x_{1} \neq x_{2}$ ”，有 $[f (x_{1}) - f (x_{2})] (x_{2} - x_{1}) \leq 0$ ”；
②已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b = 1$ ，则 $\frac{2}{a} + \frac{3}{b}$ 的最小值为 $5 + 2 \sqrt{6}$ ；
③设 $x, y \in R$ ，命题“若 $x y = 0$ ，则 $x^{2} + y^{2} = 0$ ”的否命题是真命题；
④已知 $p : x^{2} + 2 x - 3 > 0$ ， $q : \frac{1}{3 - x} > 1$ ，若命题 $(\neg q) \land p$ 为真命题，则 $x$ 的取值范围是 $(- \infty, - 3) \cup (1, 2) \cup [3, + \infty)$ .

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4、已知函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{6}) - 2 \sqrt{3} \sin x \cos x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最大值为 $1$ B、直线 $x = \frac{π}{3}$ 是 $f (x)$ 图象的一条对称轴 C、 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{6}, \frac{π}{3})$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{6}, 0)$ 对称

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5、已知函数 $f (x) = A cos (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < π)$ 在 $x = \frac{5 π}{12}$ 处取得极小值 $- 2$ ，与此极小值点最近的 $f (x)$ 图象的一个对称中心为 $(\frac{π}{6}, 0)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x) = 2 cos (2 x + \frac{π}{6})$ B、将 $y = 2 sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位长度即可得到 $f (x)$ 的图象 C、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{3})$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2})$ 上的值域为 $[- 2, \sqrt{3}]$

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6、已知 $a, b > 0, a + b^{2} = 1$ ，则下列选项一定正确的是（）

A、 $3^{a - b} \leq \frac{1}{3}$ B、 $b \sqrt{a}$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$ C、 $\sqrt{a} + b < \sqrt{2}$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} > \frac{16}{5}$

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7、已知 $a, b$ 均为正数，则使得“ $a > b$ ”成立的充分条件可以为（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $|a - 3| > |b - 4|$ C、 $a^{2} b + b > a b^{2} + a$ D、 $ln (a^{2} + 2024) > ln (b^{2} + 2024)$

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8、下列四个结论中正确的个数是（）
①“ $x^{2} + x - 2 > 0$ ”是“ $x > 1$ ”的充分不必要条件；
②命题：“ $\forall x \in R$ ， $\sin x \leq 1$ ”的否定是“ $\exists x_{0} \notin R$ ， $\sin x_{0} > 1$ ”；
③“若 $x = \frac{π}{4}$ ，则 $\tan x = 1$ ”的否命题为真命题．

A、0 B、1 C、2 D、3

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9、函数 $y = x$ ， $y = \sqrt{x}$ 和 $y = \frac{1}{x}$ 的图像都通过同一个点，则该点坐标为（）

A、 $(1, - 1)$ B、 $(1, 0)$ C、 $(1, 1)$ D、 $(1, 2)$

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10、已知函数 $f (x) = |tan (ω x + φ)| (ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $2 π$ ，直线 $x = \frac{π}{3}$ 是 $f (x)$ 图象的一条对称轴，则 $f (x)$ 的单调递减区间为（）

A、 $(2 k π - \frac{π}{6}, 2 k π + \frac{5 π}{6}] (k \in Z)$ B、 $(2 k π - \frac{5 π}{3}, 2 k π - \frac{2 π}{3}] (k \in Z)$ C、 $(2 k π - \frac{4 π}{3}, 2 k π - \frac{π}{3}] (k \in Z)$ D、 $(2 k π - \frac{π}{3}, 2 k π + \frac{2 π}{3}] (k \in Z)$

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11、已知实数 $a, b, c$ 满足 $\frac{e^{2 a}}{2} = \frac{e^{3 b}}{3} = \frac{e^{5 c}}{5} = 2$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a < b < c$ C、 $b > a > c$ D、 $c > a > b$

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12、已知集合 $M =$ { $0$ ， $3$ }，则 $M$ 的真子集个数为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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13、给出下列四个命题：
①若集合A，B满足 $A \cap B = A$ ，则 $A \subseteq B$ ；
②给定命题 $p, q$ ，若“ $p \lor q$ ”为真，则“ $p \land q$ ”为真；
③设 $a, b, m \in R,$ 若 $a < b$ ，则 $a m^{2} < b m^{2}$ ；
④若直线 $l_{1} : a x + y + 1 = 0$ 与直线 $l_{2} : x - y + 1 = 0$ 垂直，则 $a = 1$ ．
其中正确命题的个数是

A、1 B、2 C、3 D、4

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14、已知二阶行列式 $|\begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array}| = a d - b c$ ，三阶行列式 $|\begin{array}{l} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{array}| = a_{1} m_{1} - a_{2} m_{2} + a_{3} m_{3}$ ，其中 $m_{1}, m_{2}, m_{3}$ 分别为 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 的余子式（某个数的余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式）．

(1)、计算 $|\begin{array}{l} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{array}|$ ．

(2)、设函数 $f (x) = |\begin{array}{l} x & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}| + |\begin{matrix} x & 2 & x \\ 3 & 2 x & 2 \\ 1 & 3 & x \end{matrix}|$ ．
①若 $f (x)$ 的极值点恰为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前两项，且 $\{a_{n}\}$ 的公差大于0，求 $\sum_{i = 1}^{3 a_{n + 1}} a_{i + 1}$ ；
②若 $f (x_{0}) = 0, a \in (- 2, - 1)$ 且 $a \neq x_{0}$ ，函数 $g (x) = f^{'} (x) (a - x_{0}) - f (a)$ ，证明： $g (a) g (x_{0}) < 0$ ．

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15、在 $△ A B C$ 中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且 $b^{2} + c^{2} = 5$ ．

(1)、若 $\sqrt{2} \sin B = \sqrt{3} \sin C$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ ，求A；

(2)、若 $b + c = 3, \cos A = \frac{1}{4}, \sin B > \sin C$ ，求 $\vec{A C} \cdot \vec{C B}$ ．

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16、已知函数 $f (x) = e^{x} - ln x + (1 - m) x - ln m$ 的最小值为0，则 $m =$ ．

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17、若存在 $a, b, c \in [π, 2 π]$ （ $a, b, c$ 互不相等），满足 $|\sin ω a| + |\sin ω b| + |\sin ω c| = 3 (ω > 0)$ ，则 $ω$ 的取值范围为.

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18、“ $\infty$ ”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线．如图所示的曲线 $C$ 过坐标原点 $O$ ， $C$ 上的点到两定点 $F_{1} (- a, 0)$ ， $F_{2} (a, 0) (a > 0)$ 的距离之积为定值．则下列说法正确的是（）（参考数据： $\sqrt{5} \approx 2.236$ ）

A、若 $|F_{1} F_{2}| = 12$ ，则 $C$ 的方程为 ${(x^{2} + y^{2})}^{2} = 72 (x^{2} - y^{2})$ B、若 $C$ 上的点到两定点 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 的距离之积为16，则点 $(- 4, 0)$ 在 $C$ 上 C、若 $a = 3$ ，点 $(3, y_{0})$ 在 $C$ 上，则 $2 < y_{0}^{2} < 3$ D、当 $a = 3$ 时， $C$ 上第一象限内的点 $P$ 满足 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{9}{2}$ ，则 ${|P F_{1}|}^{2} - {|P F_{2}|}^{2} = 18 \sqrt{3}$

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19、在复平面内，复数 $z_{1}, z_{2}$ 对应的向量分别为 $\vec{a_{1}}$ 、 $\vec{a_{2}}$ ，则下列说法不正确的是（）

A、 $|z_{1} \cdot z_{2}| = |\vec{a_{1}} \cdot \vec{a_{2}}|$ B、 $|z_{1} - z_{2}| = |\vec{a_{1}} - \vec{a_{2}}|$ C、若 $|z_{1} - z_{2}| = |z_{1} + z_{2}|$ ，则 $z_{1} \cdot z_{2} = 0$ D、若 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则 $z_{1}^{2} = z_{2}^{2}$

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20、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1)$ 为奇函数，且 $y = f (2 x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称，若 $f (0) = - 1$ ，则 $\sum_{i = 1}^{50} f (i) =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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