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相关试卷

1、如图，三棱锥 $P - A B C$ 中， $C P = C A = C B$ ，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ，平面 $P B C ⊥$ 平面 $A B C$ .

(1)、证明： $P C ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若 $∠ A C B$ 为钝角，且二面角 $B - P A - C$ 的大小为 $45^{°}$ ，求 $\cos ∠ A C B$ .

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2、已知函数 $f (x) = x^{2} - a x + 2 \ln x$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线垂直于直线 $2 x + y = 0$ ，求a的值；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性.

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3、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 $a \cos C + a \sin C - b - c = 0$ .

(1)、求角A；

(2)、若 $a = 4$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{15}}{2}$ ，求 $\sin B \sin C$ 的值.

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4、一只盒子中装有4个形状大小相同的小球，小球上标有4个不同的数字.摸球人不知最大数字是多少，每次等可能地从中摸出一个球，不放回.摸球人决定放弃前面两次摸出的球，从第3次开始，如果摸出的球上标有的数字大于前面摸出的球上的数字，就把这个球保存下来，摸球结束，否则继续摸球.问摸球人最后保存下来是数字最大的球的概率是.

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5、已知 ${(2 x^{2} - \frac{1}{x})}^{n}$ 展开式的二项式系数之和为64，则展开式中 $x^{3}$ 项的系数为.（用数字作答）

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6、如图， $A B C D$ 是边长为2的正方形， $A A_{1}$ ， $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $D D_{1}$ 都垂直于底面 $A B C D$ ，且 $D D_{1} = \frac{3}{2} A A_{1} = \frac{3}{2} C C_{1} = 3 B B_{1} = 3$ ，点 $E$ 在线段 $C C_{1}$ 上，平面 $B E D_{1}$ 交线段 $A A_{1}$ 于点 $F$ ，则（）

A、 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ ， $D_{1}$ 四点不共面 B、该几何体的体积为8 C、过四点 $A_{1}$ ， $C_{1}$ ， $B$ ， $D$ 四点的外接球表面积为 $12 π$ D、截面四边形 $B E D_{1} F$ 的周长的最小值为10

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{1} = 3$ ，且 $3 (n + 1) a_{n} - n a_{n + 1} = 0 (n \in N^{*})$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $\{n a_{n}\}$ 为等比数列 B、 $\{\frac{a_{n}}{n}\}$ 为等比数列 C、 $a_{n} = n \cdot 3^{n}$ D、 $S_{n} = \frac{(2 n - 1)}{4} \cdot 3^{n + 1} + \frac{3}{4}$

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8、下列说法正确的是（）

A、若随机变量 $ξ \sim B (8, \frac{1}{4})$ ，则 $D (ξ) = \frac{3}{2}$ B、残差平方和越大，模型的拟合效果越好 C、若随机变量 $η \sim N (μ, σ^{2})$ ，则当 $μ$ 减小时， $P (|η - μ| < σ)$ 保持不变 D、一组数据的极差不小于该组数据的标准差

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9、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上且不恒为0的连续函数，若 $f (x + y) + f (x - y) = f (x) f (y)$ ， $f (1) = 0$ ，则（）

A、 $f (0) = - 2$ B、 $f (x)$ 为奇函数 C、 $f (x)$ 的周期为2 D、 $- 2 \leq f (x) \leq 2$

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10、某袋子中有大小相同的4个白球和2个红球，甲乙两人先后依次从袋中不放回取球，每次取1球，先取到红球者获胜，则甲获胜的概率（）

A、 $\frac{8}{15}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{2}{3}$

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11、已知圆锥的侧面展开图是一个面积为 $π$ 的半圆，则该圆锥的高为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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12、“直线 $a x + b y - 1 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 有公共点”是“ $a^{2} + b^{2} \geq 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x - 1, x \leq 0 \\ ln (x + 1), x > 0 \end{array}$ ，则关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq 1$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 2] \cup [e, + \infty)$ B、 $[- 2, e]$ C、 $(- \infty, - 2] \cup [e - 1, + \infty)$ D、 $[- 2, e - 1]$

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14、下列四个函数中，以 $(\frac{π}{2}, 0)$ 为其对称中心，且在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上单调递增的是（）

A、 $y = cos x$ B、 $y = tan x$ C、 $y = sin x$ D、 $y = |cos x|$

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15、已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是不共线的单位向量，若 $\vec{a} = \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = λ \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $2$ B、 $- 2$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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16、已知全集 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ， $A = \{1, 2, 3\}$ ， $B = \{2, 3, 4, 5\}$ ，则图中阴影部分对应的集合为（）

A、 $\{1\}$ B、 $\{2, 3\}$ C、 $\{4, 5\}$ D、 $\{6\}$

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17、已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cos x + 2 \sqrt{3} \cos^{2} x - \sqrt{3}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的图象的对称中心；

(2)、当 $x \in [- \frac{π}{3}, \frac{π}{3}]$ 时，求 $f (x)$ 的最值.

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18、设函数 $f (x) = \sin 2 x$ ， $x \in R$ .
（Ⅰ）已知 $θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，函数 $g (x) = f (x + θ)$ 关于直线 $y = \frac{π}{6}$ 对称，求 $θ$ 的值；
（Ⅱ）求函数 $y = {[f (x + \frac{π}{12})]}^{2} + {[f (x + \frac{π}{4})]}^{2}$ 在 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 上的值域.

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19、把函数 $f (x) = 2 \sin x$ 的图象向左平移 $φ (0 < φ < \frac{π}{2})$ 个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，函数 $y = g (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称，记函数 $h (x) = f (x) \cdot g (x)$ .
（1）求函数 $y = h (x)$ 的最小正周期和单调增区间；
（2）画出函数 $y = h (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 上的大致图象.

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20、某港口在一天之内的水深变化曲线近似满足函数 $h (t) = A \sin (ω t + φ) + B (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2}, 0 \leq t < 24)$ ，其中 $h$ 为水深（单位：米）， $t$ 为时间（单位：小时），该函数图象如图所示.

(1)、求函数 $h (t)$ 的解析式；

(2)、若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与水底的距离），则该船一天之内至多能在港口停留多久？

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