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相关试卷

1、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为正方形.

(1)、求证： $A P ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、设 $P D$ 的中点为 $E$ 且 $A E ⊥ P C$ ， $P A = 4$ .若 $Q$ 为平面 $A B C D$ 上的一点，且 $Q B + Q D = 2 \sqrt{11}$ ，求 $P Q$ 与平面 $A B C D$ 所成角正弦值的最小值.

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2、某 $4 S$ 店将 $2024$ 年第四季度购车的车主性别与购车类型统计如下表所示（单位：人），已知从该季度所有购车的车主中随机抽取 $1$ 人，抽到购买燃油车的女性车主的概率为 $\frac{1}{5}$ .

购买燃油车
购买新能源车
男性车主
$1.5 x$
$1300$
女性车主
$x$
$700$

(1)、求 $x$ 的值；

(2)、依据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，能否认为购车车主的性别与购车类型有关?

(3)、为了回馈部分消费者，现从上述购买燃油车的车主中按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取 $10$ 人，再从这 $10$ 人中随机抽取 $2$ 人赠送礼品，记这 $2$ 人中女性车主的人数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列以及 $E (ξ)$ .
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} .$
参考数据：
$α$
$0.1$
$0.01$
$0.001$
$x_{α}$
$2.706$
$6.635$
$10.828$

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3、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为△ABC的三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边， $c \cos A + \sqrt{3} c \sin A = b + a .$

(1)、求角C的大小；

(2)、若 $c = 4 ，$ 求△ABC的内切圆面积最大值.

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4、已知函数 $f (x) = 2 \ln x - \frac{2 a}{x} + 1 .$

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若不等式 $x f (x) \geq 3 (x - a)$ 在 $[1, + \infty)$ 上恒成立，求实数a的取值范围.

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5、将若干块下图所示的由2×3个小正方形组成的矩形砖恰好铺成由6×5个小正方形组成的矩形，有种不同的铺法；若恰好铺成由6×20个小正方形组成的矩形，有种不同的铺法.

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6、已知函数 $f (x) = 2 \sin (2 x + φ)$ ，且 $f (2 θ - x) + f (x) = 0$ ，若 $φ \in (0, \frac{π}{2})$ ，且 $\cos φ = \frac{1}{4}$ ，则 $\tan 2 θ =$ .

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7、已知双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(b > 0)$ 与动圆. $M : x^{2} + {(y - m)}^{2} = \frac{m^{2}}{4} + 1 (m \in R)$ 恰有两个交点，则（）

A、双曲线C的离心率为2 B、双曲线C的渐近线被圆M截得的弦长为 $2 \sqrt{2}$ C、双曲线 C上存在一条弦，该弦的中点坐标为 $(2, 1)$ D、过双曲线C的一个焦点 F作圆M的两条切线，切点分别为A，B，则 $∠ A F B = 60 °$

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8、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，向量 $\vec{A A_{1}}$ ， $\vec{A D}$ ， $\vec{A B}$ 的模长均为2，且它们彼此的夹角都是 $60 ° ，$ 动点 $P$ 在棱 $C C_{1}$ 上，则（）

A、 $A C_{1} = 2 \sqrt{6}$ B、直线BD与直线AP所成角为90° C、平面 $B D D_{1} B_{1}$ 与平面ABCD的夹角为60° D、多面体 $A_{1} B_{1} D_{1} - B C D$ 的外接球体积为 $\frac{8 \sqrt{2}}{3} π$

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9、若 $z_{1}$ ， $z_{2} \in C$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $∣ z_{1} ∣ = ∣ z_{2} ∣$ ，则 $z_{1} = z_{2}$ 或 $z_{1} = - z_{2}$ B、若 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ ，则 $\bar{z_{1}} = z_{2}$ C、 $|z_{1} z_{2}| = |z_{1}| |z_{2}|$ D、 $z_{1}^{2} = ∣ z_{1} |^{2}$

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10、如图，边长为1的正方形. $A_{0} B_{0} C_{0} D_{0}$ 中， $E, F, G, H$ 为各边中点，连接 $D_{0} E, A_{0} F, B_{0} G, C_{0} H$ ，它们的交点分别为 $A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}$ ，记 $△ B_{0} C_{0} C_{1}$ 的面积为 $S_{1}$ ；四边形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 各边中点分别为 $E_{1}, F_{1}, G_{1}, H_{1}$ ，连接 $D_{1} E_{1}, A_{1} F_{1}, B_{1} G_{1}, C_{1} H_{1}$ ，它们的交点分别为 $A_{2}, B_{2}, C_{2}, D_{2}$ ，记 $△ B_{1} C_{1} C_{2}$ 的面积为 $S_{2}$ .依此方法一直继续下去，记 $△ B_{n - 1} C_{n - 1} C_{n},$ 的面积为 $S_{n} (n \in N^{*}) ，$ 则 $S_{1} + S_{2} + \dots + S_{n}$ 趋近于（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{3}$

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11、已知正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $14 \sqrt{6}$ ， $A B = 4 \sqrt{3}$ ， $A_{1} B_{1} = 2 \sqrt{3}$ ，则点A到平面 $B B_{1} C_{1} C$ 的距离为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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12、函数 $f (x) = x - f^{'} (\frac{π}{6}) cos x$ ，则 $f (\frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{π - 4 \sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{π - \sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{π - 4}{4}$ D、 $\frac{π - 1}{4}$

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13、已知向量 $\vec{O A} = (1, 3)$ ， $\vec{O B} = (3, 4) ，$ 点D在 $O A$ 的延长线上且 $B D ⊥ O D$ ，则 $\vec{O D} =$ （）

A、 $(\frac{9}{2}, 6)$ B、 $(\frac{3}{2}, \frac{9}{2})$ C、 $(\frac{9}{5}, \frac{12}{5})$ D、 $(\frac{3}{5}, \frac{9}{5})$

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14、若 $5^{m} = 2$ ， $5^{n} = 3 ，$ 则 $5^{\frac{3 m - 2 n}{2}}$ 的值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{9}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{9}$

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15、为响应国家“体重管理年”的号召，某校高二年级对四个班的同学体重数据进行分析.将四个班同学的体重数据分别绘制成下图所示的频率分布直方图，则班级平均体重高于该班体重中位数的是（）

A、 B、 C、 D、

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16、已知角 $α$ 的终边在直线 $3 x - y = 0$ 上，则 $\tan 2 α$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $- \frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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17、集合 $A = {x | x = 3 n + 1, n \in Z}, B = {x | x^{2} + x \leq 2} ，$ 则 $A \cap B$ =（）

A、 $\{- 2, - 1, 0, 1\}$ B、 $\{- 2, - 1\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\{- 2, 1\}$

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18、浙里启航团队举办了一场抽奖游戏，玩家一共抽取 $n$ 次.每次都有 $\frac{1}{2}$ 的概率抽中， $\frac{1}{2}$ 的概率没抽中.小明的抽奖得分按照如下方式计算：
1.将玩家 $n$ 次抽奖的结果按顺序排列，抽中记作1，未抽中记作0，形成一个长度为 $n$ 的仅有01的序列.
2.定义序列的得分为：对于这个序列每一段极长连续的1，设它长度为 $t$ ，那么得分即为 $t^{2}$ .
3.序列的得分即为每一段连续的1的得分和.
例如：如果玩家A抽了7次，第1，3，4，5，7次中奖，那么序列即为1，0，1，1，1，0，1，得分为 $1^{2} + 3^{2} + 1^{2} = 11$ .可能用到的公式：若 $X, Y$ 为两个随机变量，则 $E (X) + E (Y) = E (X + Y)$ .

(1)、若 $n = 3$ ，清照进行了一次游戏.记随机变量 $X$ 为清照的最终得分，求 $E (X)$ .

(2)、记随机变量 $Z$ 表示长度为 $n$ 的序列中从最后一个数从后往前极长连续的1的长度，求 $E (Z)$ .

(3)、若 $n = k$ ，清照进行了一次游戏.记随机变量 $A$ 为清照的最终得分，求 $E (A)$ .

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19、已知函数 $f (x) = ln \frac{2 x - 1}{x - 1} + a x (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $y = f (x)$ 的单调减区间；

(2)、若 $0 < a \leq \frac{1}{3}$ ， $x \in [\frac{3}{2}, 2]$ ，证明： $f (x) < 2$ ；

(3)、若 $x > 1$ ，恒有 $f (x) \geq 2 ln 2 + \frac{3}{2}$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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20、已知点 $A (0, - \sqrt{3}), B (0, \sqrt{3})$ ，曲线 $E$ 上的点 $M$ 与 $A, B$ 两点的连线的斜率分别为 $k_{A M}$ 和 $k_{B M}$ ，且 $k_{A M} \cdot k_{B M} = \frac{3}{4}$ ．

(1)、求曲线 $E$ 的方程；

(2)、是否存在一条直线 $l$ 与曲线 $E$ 交于 $P, Q$ 两点，以 $P Q$ 为直径的圆经过坐标原点 $O$ ．若存在，求出 $\frac{1}{{|O P|}^{2}} + \frac{1}{{|O Q|}^{2}}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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