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相关试卷

1、已知 $F$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的右焦点， $P (m, n)$ 是 $C$ 上的一个动点，则下列说法正确的是（）

A、椭圆 $C$ 的长轴长是4 B、 $|P F|$ 的最大值是2 C、 $△ O F P$ 的面积的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，其中 $O$ 为坐标原点 D、直线 $x + y + t = 0$ 与椭圆 $C$ 相切时， $t = \pm \sqrt{7}$

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2、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} a x^{2} + (a^{2} - 3) x + 2$ 在 $x = 1$ 处有极值，则（）

A、 $a = - 1$ B、 $f (x)$ 的极大值为 $\frac{16}{3}$ C、 $f (x)$ 有三个零点 D、 $f (a) < f (a + 1)$

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3、若 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $a_{2} = 11$ ， $a_{5} = 5$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{n} = 15 - 2 n$ B、－11是数列 $\{a_{n}\}$ 中的项 C、数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n} = - n^{2} + 12 n$ D、数列 $\{a_{n}\}$ 的前7项和最大

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4、在天文望远镜的设计中，人们利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．如图，已知双曲线的离心率为2，则当入射光线 $F_{2} P$ 和反射光线 $P E$ 互相垂直时（其中 $P$ 为入射点）， $cos ∠ F_{1} F_{2} P$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{7} + 1}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{7} - 1}{4}$

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5、圆心在 $x$ 轴上，且过点 $(- 1, - 3)$ 的圆与 $y$ 轴相切，则该圆的方程是（）

A、 $x^{2} + y^{2} + 10 y = 0$ B、 $x^{2} + y^{2} - 10 y = 0$ C、 $x^{2} + y^{2} + 10 x = 0$ D、 $x^{2} + y^{2} - 10 x = 0$

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6、直线 $a, b$ 的方向向量为 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，平面 $α, β$ 的法向量分别为 $\vec{m}, \vec{n}$ ，则下列选项正确的是（）

A、若 $a$ ∥ $b$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ B、若 $b$ ∥β，则 $\vec{b} \cdot \vec{n} = 0$ C、若 $a$ ⊥ $α$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{m} = 0$ D、若 $α$ ∥β，则 $\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$

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7、“ $4 < k < 6$ ”是“方程 $\frac{x^{2}}{6 - k} + \frac{y^{2}}{k - 4} = 1$ 表示椭圆”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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8、若定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 满足对任意的 $x$ 和 $y$ ，都有 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ，我们就称这个函数是“优美的”．

(1)、若函数 $f (x)$ 是优美的，求 $f (0)$ ；

(2)、写出一个优美的函数 $f (x)$ ，使得 $f (2) = 6$ ，并说明 $f (x)$ 为什么是优美的；

(3)、对于任意优美的函数 $f (x)$ ，证明：对任意的有理数，都有 $f (x) = x f (1)$ ．

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9、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} {sin}^{2} x + {(sin x + cos x)}^{2}$ $.$

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和对称中心；

(2)、求 $f (x)$ 的单调递减区间

(3)、求 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 的最值．

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10、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，满足 $b = 2$ ， $c = \sqrt{3}$ ， $∠ A = \frac{π}{6}$ .

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、求边 $B C$ 的长.

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11、函数 $y = 3 cos x - 4 sin x$ 的最大值为.

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12、若 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 1$ ，且 ${|\vec{a} + \vec{b}|}^{2} = 3$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为；

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13、已知扇形的面积为 $4 {cm}^{2}$ ，该扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为 $cm$ .

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14、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x \leq 0$ 时 $f (x) = - x^{2} - 2 x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最大值为1 B、 $f (x)$ 在区间 $(1, + \infty)$ 上单调递增 C、 $f (x) \geq 0$ 的解集为 $[- 2, 2]$ D、当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$

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15、下列函数中既是奇函数，又在 $(0, + \infty)$ 上为减函数的是（）

A、 $f (x) = x^{3}$ B、 $f (x) = - 2 x$ C、 $f (x) = \sqrt{x}$ D、 $f (x) = \frac{1}{x}$

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16、设函数 $f (x)$ 是 $(- \infty, + \infty)$ 上的减函数，若 $m \in R$ ，则（）

A、 $f (m) > f (2 m)$ B、 $f (m^{2}) > f (m)$ C、 $f (m^{2} + 1) < f (m)$ D、 $f (m^{2} + 1) > f (m)$

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17、若向量 $\vec{a} = (1, 5), \vec{b} = (- 2, 1)$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{a} + 2 \vec{b})$ （）

A、30 B、31 C、32 D、33

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18、在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，DE交AC于F，则 $\vec{D F} =$ （）

A、 $- \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A D}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A D}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A D}$

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19、已知集合 $A = \{x | 0 < x < 2\}$ ， $B = \{x | x^{2} - x > 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x | 0 < x < 2\}$ B、 $\{x | 1 < x < 2\}$ C、 $\{x | x > 0\}$ D、 $\{x | x > 1\}$

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20、已知 $M_{1} (x_{1}, 1)$ 是抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点，以点 $M_{1}$ 为圆心，1为半径的圆过 $C$ 的焦点 $F$ .按如下方式依次构造点. $M_{n} (x_{n}, y_{n}) (n = 2, 3, \dots) :$ 过点 $M_{n - 1}$ 作斜率为 $k (k < 0)$ 的直线与C交于另一点 $N_{n - 1} ，$ 点 $M_{n}$ 为 $N_{n - 1}$ 关于 $x$ 轴的对称点.

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、令 $y_{1} = 1 ，$ 证明 ${y_{n}}$ 是等差数列，并求其通项公式；

(3)、设 $S_{n}$ 是 $△ M_{n} M_{n + 1} M_{n + 2}$ 的面积，求证： $S_{n} = S_{n + 1} .$

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