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相关试卷

1、下列说法正确的有（）

A、 $69, 63, 65, 55, 71, 73, 77, 78, 83, 82$ 这组数据的第 $80$ 百分位数是 $80$ B、若一组数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ 的方差为 $\frac{1}{2}$ ，则 $2 x_{1}$ ， $2 x_{2}$ ， …， $2 x_{n}$ 的方差为1 C、若变量 $X$ 服从二项分布 $B (4, \frac{1}{2})$ ，则 $E (X) = 2$ D、若变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (100, σ^{2})$ ， $P (100 < ξ \leq 113) = 0.3$ ，则 $P (ξ < 87) = 0.2$

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2、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 与曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{x y}{b^{2}} = - 1$ 无公共点，则曲线 $C_{1}$ 的离心率的取值范围为（）

A、 $(1, \sqrt{2}]$ B、 $[\sqrt{2}, + \infty)$ C、 $(1, \sqrt{3}]$ D、 $[\sqrt{3}, + \infty)$

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3、已知函数 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{2})$ 在 $[- m, m]$ 上有且仅有2个零点，则实数m的取值范围是（）

A、 $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ B、 $[\frac{π}{2}, π)$ C、 $[\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4})$ D、 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$

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4、已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = (x + 1) (x - a)$ ．若 $\forall x, y \in R$ ， $f (x + | y |) \geq$ $f (x - | y |)$ ，则a的取值范围为（）

A、 $(- \infty, - 1]$ B、 $[- 1, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0]$ D、 $[0, + \infty)$

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5、某圆锥母线长为1，其侧面积与轴截面面积的比值为 $2 π$ ，则该圆锥的高为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、 $π$

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6、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为d，若 $a_{2} + a_{10} = 6$ ， $a_{6} a_{8} = 15$ ，则 $d =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7、已知 $\cos θ = - \frac{3}{5}$ ， $θ \in (0, π)$ ，则 $\tan \frac{θ}{2} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- 2$ D、2

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8、设 $x \in R$ ，向量 $\vec{a} = (x, 1)$ ， $\vec{b} = (4, x)$ ，则 $\vec{a} / / \vec{b}$ 是 $x = 2$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9、复数 $z = - 2 i (- 2 + i)$ 的虚部为（）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 4$ D、4

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10、已知 $f (x) = - 3 x^{2} + a (6 - a) x + 6$ .

(1)、解关于 $a$ 的不等式 $f (1) > 0$

(2)、若不等式 $f (x) > b$ 的解集为 $(- 1, 3)$ ，求实数 $a, b$ 的值.

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11、如图，平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $A D$ 的中点， $F$ 在线段 $B E$ 上，且 $\vec{B F} = 3 \vec{F E}$ ，记 $\vec{B A} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ ，则 $\vec{C F} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}$ C、 $\frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ D、 $\frac{3}{4} \vec{a} - \frac{5}{8} \vec{b}$

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12、已知 $\frac{z - 3}{i} = 2 + i$ ，其中 $i$ 为虚数单位， $\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数，则 $|\bar{z}| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、8

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13、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左，右焦点， $C$ 为短轴的一个端点， $△ F_{1} F_{2} C$ 是直角三角形.

(1)、求椭圆 $E$ 的离心率；

(2)、若直线 $y = x - 3$ 恰好与椭圆 $E$ 相切，求椭圆 $E$ 的方程；

(3)、在（2）的条件下，设直线 $l$ 不过点 $A (2, 1)$ 且与 $E$ 交于两点 $M$ ， $N$ ，若 $\vec{A M} \cdot \vec{A N} = 0$ ，求 $\frac{| \vec{A M} | | \vec{A N} |}{| \vec{A M} - \vec{A N} |}$ 的最大值.

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14、从 $0, 1, 2, 3, 4$ 这五个数字中选出3个不同的数字组成一个三位数，则所有满足条件的三位数的个数为（）

A、24 B、36 C、48 D、60

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15、已知 $M (0, \sqrt{2})$ 和 $N (\sqrt{3}, 1)$ 为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上两点．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若点H在椭圆C上， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是椭圆C的两焦点，且 $∠ F_{1} H F_{2} = 120 °$ ，求 $△ F_{1} H F_{2}$ 的面积；

(3)、过点 $P (\sqrt{3}, 0)$ 的直线l与椭圆C交于A、B两点，证明： $\frac{1}{| P A |^{2}} + \frac{1}{| P B |^{2}}$ 为定值．

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16、已知函数 $f (x) = \frac{\ln x + a}{x} (a \in R)$ .
（1）若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线与直线 $x - y - 1 = 0$ 平行，求 $a$ 的值；
（2）在（1）条件下，求函数 $f (x)$ 的单调区间和极值；
（3）当 $a = 1$ ，且 $x \geq 1$ 时，证明： $f (x) \leq 1$ .

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17、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $△ P A B$ 为等腰直角三角形，四边形 $A B C D$ 为菱形， $P A = P B = \sqrt{2}$ ， $∠ A B C = 60^{\circ}$ ， E，F分别为CD，PD的中点，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、求证： $E F ⊥ A B$ ；

(2)、求平面 $B E F$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值．

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18、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x + 3 = 0$ .
（1）求过点 $M (3, 2)$ 的圆的切线方程；
（2）若直线 $l$ 过点 $N (\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ 且被圆C截得的弦长为 $m$ ，求 $m$ 的范围.

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19、M、N分别为曲线 $y = e^{x} + 2 x$ 与直线 $y = 3 x - 1$ 上的点，则 $|M N|$ 的最小值为.

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20、已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = - 2 n^{2} + 2024$ ，则 $a_{5} =$ ．

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