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相关试卷

1、图1是边长为 $\sqrt{2}$ 的正方形 $A B C D$ ，将 $△ A C D$ 沿 $A C$ 折起得到直二面角 $P - A C - B$ ，如图2所示．

(1)、求异面直线 $A B$ 与 $P C$ 所成角；

(2)、棱 $P A$ 上是否存在一点 $M$ ，使得二面角 $M - B C - A$ 的余弦值为 $\frac{7 \sqrt{51}}{51}$ ，若存在，求出 $\frac{A M}{A P}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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2、某大型商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放 $8$ 个大小相同的小球，其中 $4$ 个为红色， $4$ 个为黑色．抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球．如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖．

(1)、若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数 $X$ 的分布列和方差；

(2)、若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数 $Y$ 的分布列和数学期望．

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3、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C, A B ⊥ A C, A B = A C = A A_{1} = 1, M$ 为线段 $A_{1} C_{1}$ 上的一点.

(1)、求证： $B M ⊥ A B_{1}$ ；

(2)、若 $M$ 为线段 $A_{1} C_{1}$ 上的中点，求直线 $A B_{1}$ 与平面 $B C M$ 所成角大小.

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4、“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，这将推动新能源汽车产业的迅速发展．下表是近几年某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表：
年份x
2020
2021
2022
2023
2024
销量y（万台）
1.00
1.40
1.70
1.90
2.00
某机构调查了该地区60位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示：

购置传统燃油车
购置新能源车
总计
男性车主

10
48
女性车主
2

总计

60

(1)、求新能源乘用车的销量y关于x年份的线性相关系数r，并判断y与x是否线性相关；

(2)、请将上述 $2 \times 2$ 列联表补充完整，并判断是否有 $99 ． 9 %$ 的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关．
参考公式：
相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \cdot \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ； $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 2.5, \sqrt{6.6} \approx 2.6$ .
备注：若 $| r | > 0.75$ ，则可判断y与x线性相关．
$χ^{2}$ 临界值表：
$P (χ^{2} \geq x_{0})$
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
$x_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

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5、某次调研测试中考生成绩X服从正态分布 $N (75, σ^{2})$ 若 $P (60 \leq X \leq 90) = \frac{1}{2}$ ，则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，至少有2名考生的成绩高于90的概率为．

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6、 ${(1 + x)}^{3} + {(1 + x)}^{4} + \dots + {(1 + x)}^{11}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数是．（结果用数字表示）

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7、某高中针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有 $800$ 人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：

高一年级
高二年级
高三年级
泥塑
$a$
$b$
$c$
剪纸
$x$
$y$
$z$
其中 $x : y : z = 5 : 3 : 2$ ，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的 $\frac{2}{5}$ ，为了了解学生对两个社团活动的满意程度，按分层抽样的方法抽取一个 $50$ 人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取人．

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8、在棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $F$ 在底面 $A B C D$ 内运动（含边界），点 $E$ 是棱 $C C_{1}$ 的中点，则（）

A、若 $F$ 是棱 $A D$ 的中点，则 $E F //$ 平面 $A B_{1} C$ B、若 $E F ⊥$ 平面 $B_{1} D_{1} E$ ，则 $F$ 是 $A C$ 上靠近 $C$ 的四等分点 C、点 $E$ 到平面 $B_{1} D_{1} C$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、若 $F$ 在棱 $A B$ 上运动，则点 $F$ 到直线 $B_{1} E$ 的距离最小值为 $\frac{2}{5} \sqrt{5}$

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9、已知(2＋x)(1－2x)⁵＝a₀＋a₁x＋a₂x²＋a₃x³＋a₄x⁴＋a₅x⁵＋a₆x⁶ ，则（）

A、a₀的值为2 B、a₅的值为16 C、a₁＋a₂＋a₃＋a₄＋a₅＋a₆的值为－5 D、a₁＋a₃＋a₅的值为120

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10、甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（）

A、如果甲、乙必须相邻，那么不同的排法有24种 B、甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 C、最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 D、甲乙不相邻的排法种数为36种

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11、某高校两名学生准备从 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 这 $6$ 门选修课程中任选 $3$ 门，则这两名学生在所选课程中有相同课程的条件下，恰好选择了 $1$ 门相同课程的概率为（）

A、 $\frac{1}{19}$ B、 $\frac{9}{19}$ C、 $\frac{10}{19}$ D、 $\frac{18}{19}$

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12、若 ${(\frac{1}{x} + a x^{2})}^{n}$ 的展开式中，各项的二项式系数之和为128，系数和为 $- 1$ ，则 $38^{n} + a$ 除于13的余数是（）

A、0 B、3 C、10 D、11

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13、《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著，该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即筹算）､太乙算､两仪算､三才算､五行算､八卦算､九宫算､运筹算､了知算､成数算､把头算､龟算､珠算和计数.某学习小组有甲､乙､丙､丁四人，该小组要收集九宫算､运筹算､了知算､成数算､把头算､珠算6种算法的相关资料，要求每种算法只能一人收集，每人至少收集其中一种，则不同的分配方案种数有（）

A、1560种 B、2160种 C、2640种 D、4140种

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14、为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将 $1000$ 名师生的竞赛成绩（满分 $100$ 分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的为（）

A、 $a$ 的值为 $0.005$ B、估计这组数据的众数为 $75$ C、估计成绩低于 $70$ 分的有 $40$ 人 D、估计这组数据的第 $85$ 百分位数为 $86$

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15、某足球队球员乙能够胜任前锋、中锋和后卫三个位置，且出场率分别为 $0.1$ 、 $0.5$ 、 $0.4$ ，当乙球员担当前锋、中锋以及后卫时，球队输球的概率依次为 $0.4$ 、 $0.2$ 、 $0.8$ ．当乙球员参加比赛时，该球队这场比赛输球的概率为（）

A、 $0.46$ B、 $0.68$ C、 $0.58$ D、 $0.64$

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16、如图，已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， E，F分别是棱 $C_{1} D_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点，记 $\overset{⃑}{A B} = \overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{A D} = \overset{⃑}{b}, \overset{⃑}{A A_{1}} = \overset{⃑}{c}$ ，则 $\overset{⃑}{E F} =$ （）

A、 $\overset{⃑}{E F} = \frac{1}{2} \overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b} + \overset{⃑}{c}$ B、 $\overset{⃑}{E F} = \frac{3}{2} \overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b} + \frac{3}{2} \overset{⃑}{c}$ C、 $\overset{⃑}{E F} = \frac{1}{2} \overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b} - \frac{1}{2} \overset{⃑}{c}$ D、 $\overset{⃑}{E F} = - \frac{1}{2} \overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b} + \frac{1}{2} \overset{⃑}{c}$

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17、下列运算正确的是（）

A、 ${(\cos \frac{π}{6})}^{'} = - \frac{1}{2}$ B、 ${[\ln (3 x + 1)]}^{'} = \frac{3}{3 x + 1}$ C、 ${(3^{x})}^{'} = 3^{x} \log_{3} e$ D、 ${(x^{2} \cos x)}^{'} = - 2 x \sin x$

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18、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 $\frac{\sqrt{3} a}{b} = 2 \sin (C + \frac{π}{3})$ ．

(1)、求B；

(2)、若 $b = 2$ ，过点B作 $B D ⊥ A C$ ， D为垂足，求BD的最大值．

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19、在 ${(x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{9}$ 的展开式中有理项的系数的和为．

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20、根据相关研究报告显示，预计 $2025$ 年电商交易额突破 $18$ 亿元，网购用户规模接近 $9$ 亿．下表为某网店统计的近 $5$ 个月的利润 $y$ （单位：万元），其中 $x$ 为月份代号．
月份
2024年12月
2025年1月
2025年2月
2025年3月
2025年4月
月份代号 $x$
1
2
3
4
5
利润 $y$ ／万元
8
6.3
5.1
3.2
2.4

(1)、依据表中的统计数据，计算样本相关系数 $r$ （ $r$ 精确到 $0.01$ ），判断是否可以用线性回归模型拟合 $y$ 与 $x$ 的关系；若可用，求出 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程，并估计 $2025$ 年 $5$ 月该网店利润；若不可用，请说明理由；

(2)、该专营店为了吸引顾客，推出两种抽奖方案．方案一：一次性购物金额超过 $800$ 元可抽奖三次，每次中奖的概率均为 $\frac{1}{4}$ ，且每次抽奖互不影响，中奖一次打 $9$ 折，中奖两次打 $8$ 折，中奖三次打 $6$ 折，其余情况不打折．方案二：从装有 $8$ 个形状大小、完全相同的小球（其中红球 $3$ 个，白球 $1$ 个，黑球 $4$ 个）的抽奖盒中，一次性摸出 $2$ 个球，其中奖规则为：若摸出 $1$ 个红球和 $1$ 一个白球打六折，摸出 $2$ 个黑球打八折，其余情况不打折．某顾客计划在此网店购买 $1000$ 元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠．
参考： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{b} = \bar{y} - \hat{a} \bar{x}$ ， $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$

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年份x	2020	2021	2022	2023	2024
销量y（万台）	1.00	1.40	1.70	1.90	2.00

	购置传统燃油车	购置新能源车	总计
男性车主		10	48
女性车主	2
总计			60

$P (χ^{2} \geq x_{0})$	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
$x_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

	高一年级	高二年级	高三年级
泥塑	$a$	$b$	$c$
剪纸	$x$	$y$	$z$

月份	2024年12月	2025年1月	2025年2月	2025年3月	2025年4月
月份代号 $x$	1	2	3	4	5
利润 $y$ ／万元	8	6.3	5.1	3.2	2.4