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相关试卷

1、已知集合 $A = \{- 1, 0, 1\}, B = [0, + \infty)$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1\}$ B、 $\{1\}$ C、 $[0, + \infty)$ D、 $[1, + \infty)$

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2、已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + 2 (n \in N^{*})$ ，数列 ${b_{n}}$ 为单调递增的等比数列， $b_{2} = 2$ ，且 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $b_{3} - 1$ 成等差数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = a_{n} + b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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3、我们将借助导数求随机变量的期望和方差的方法称为微分恒等式法，微分恒等式法既可以用于实验次数有限的情况，也可以用于实验次数无限的情况．微分恒等式法的一个应用案例如下：
关于x的恒等式满足 $x + (1 - x) x + {(1 - x)}^{2} x + \dots + {(1 - x)}^{k - 1} x + \dots = 1$ ，
对等式两边求导可得 $1 - x + (1 - x) - 2 (1 - x) x + {(1 - x)}^{2} + \dots - (k - 1) {(1 - x)}^{k - 1} x + {(1 - x)}^{k - 1} + \dots = 0$ ．
移项得 $1 + (1 - x) + {(1 - x)}^{2} + \dots + {(1 - x)}^{k - 1} + \dots = x + 2 (1 - x) x + \dots + (k - 1) {(1 - x)}^{k - 1} x + \dots$ ．
某校师生在操场上欢庆元旦，其中有一项套圈活动备受欢迎，活动规则为每人累计 $k (k \in N^{*})$ 次未套中时则停止套圈，否则可以继续套圈．若每人每次套中的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，且每次套中与否互不影响，每次套中后积1分，将每位参与活动的师生所得积分记为随机变量X．

(1)、若 $k = 1$ ， $p = \frac{1}{2}$ ，求 $X = 3$ 的概率；

(2)、求 $X = 0$ ， $X = 1$ ， $X = n (n \in N)$ 的概率，并写出随机变量X的分布列；

(3)、用微分恒等式法求随机变量X的数学期望 $E (X)$ ，并据此估计当 $k = 3$ ， $p = 0.75$ 时每位参与该项活动的师生的积分．

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4、已知直线 $l_{1} : a^{2} x + y - 3 a^{2} - 5 = 0$ 与 $l_{2} : x - a^{2} y + 3 a^{2} - 5 = 0$ 相交于点P，点Q在圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 上，则（）．

A、 $|P Q|$ 有最大值 $6 \sqrt{2}$ B、 $|P Q|$ 有最大值 $5 \sqrt{2}$ C、 $|P Q|$ 有最小值 $3 \sqrt{2}$ D、 $|P Q|$ 有最小值 $2 \sqrt{2}$

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5、已知函数 $f (x) = {sin}^{n} x + {cos}^{n} x (n = 2 k, k \in N^{*})$ ．

(1)、当 $n = 4$ 时，判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(2)、利用三角恒等变换，分别求函数 $f (x)$ 在 $n = 2$ ， 4，6时的取值范围；

(3)、请结合（2）的结果猜想函数 $f (x)$ 的取值范围，然后证明你的猜想，并求方程 $f (x) = \frac{1}{2025}$ 有解时n的最小值．

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6、下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）

A、 $y = \frac{1}{x}$ B、 $y = e^{x} - e^{- x}$ C、 $y = x^{3}$ D、 $y = \log_{2} x$

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7、定义函数 $f (x) = m sin x + n cos x$ 的“源向量”为 $\vec{O M} = (m, n)$ ，非零向量 $\vec{O M} = (m, n)$ 的“伴随函数”为 $f (x) = m sin x + n cos x$ ，其中 $O$ 为坐标原点．

(1)、若向量 $\vec{O M}$ 的“伴随函数”为 $f (x) = 2 sin (x + \frac{π}{6})$ ，求与 $\vec{O M}$ 向量方向相同的单位向量；

(2)、在 $△ A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$ ，若函数 $h (x)$ 的“源向量”为 $\vec{O M} = (0, 1)$ ，且已知 $a = 8, h (A) = \frac{3}{5}$ ；
（ⅰ）求 $△ A B C$ 周长的最大值；
（ⅱ）求 $|\vec{A B} + \vec{A C}|$ 的最大值．

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8、已知函数 $f (x) = 3 \sqrt{3} sin x cos x + 3 {cos}^{2} x - \frac{3}{2}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期

(2)、若 $x \in [- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ ，求函数 $f (x)$ 的值域；

(3)、若 $f (x) = 2$ 且 $x \in [0, \frac{π}{6}]$ ，求 $f (x - \frac{π}{12})$ 的值．

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9、 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 内角 $A, B, C$ 的对边，已知 $\sqrt{5} a \cos A = b \cos C + c \cos B$ ．

(1)、求 $cos A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{13}$ ， $b = \sqrt{5}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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10、已知复数 $z = m^{2} + m - 2 + (m - 1) i (m \in R)$ .

(1)、若 $z$ 为纯虚数，求实数 $m$ 的值；

(2)、若 $z$ 在复平面内对应的点在直线 $y = \frac{1}{3} x$ 上，求 $|z|$ .

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11、已知点 $O (0, 0)$ ，向量 $\vec{O A} = (2, 3), \vec{O B} = (6, - 3)$ ，点 $P$ 是线段 $A B$ 上靠近 $A$ 点的三等分点，求点 $P$ 的坐标．

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12、复数 $z = \frac{2 - i}{1 + 2 i}$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则 $\bar{z} =$ .

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13、有下列四种变换方式，能将 $y = sin x$ 的图象变为 $y = sin (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象的是（）

A、横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），再向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 B、横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），再向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，再将横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变） D、向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度，再将横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变）

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14、下列命题中正确的是（）

A、 $|\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$ B、若 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| > |\vec{b}|$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 同向，则 $\vec{a} > \vec{b}$ C、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{b} = \vec{c}$ D、若 $△ A B C$ 是等边三角形，则 $〈 \vec{A B}, \vec{B C} 〉 = \frac{2 π}{3}$

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15、设 $a = \cos^{2} 12 ° - \sin^{2} 12 °$ ， $b = \frac{2 \tan 12 °}{1 - \tan^{2} 12 °}$ ， $c = \sqrt{\frac{1 - \cos 48 °}{2}}$ ，则有（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < c < a$ C、 $a < c < b$ D、 $b < a < c$

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16、在 $△ A B C$ 中， $\sin^{2} A \tan B = \sin^{2} B \tan A$ ，则 $△ A B C$ 是（）

A、等腰三角形 B、等腰直角三角形 C、直角三角形 D、等腰或直角三角形

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17、已知 $\vec{a} = (3, 4), \vec{b} = (t, 1), (\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $|\vec{b}| =$ （）

A、50 B、 $5 \sqrt{2}$ C、2 D、 $3 \sqrt{2}$

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18、已知 $|\vec{a}| = 5, |\vec{b}| = 4$ ，若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 10$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $- \frac{π}{3}$ B、 $\frac{5 π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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19、若复数 $z$ 满足 $z \cdot (2 - i) = i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{2}{5} i$ C、 $- \frac{1}{5}$ D、 $- \frac{2}{5}$

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20、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对应边为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，满足 $\sin (B - A) + \sqrt{2} \sin A = \sin C$ ．

(1)、已知 $b = 4$ ，若 $D$ 在 $A C$ 上，且 $B D ⊥ A C$ ，求 $B D$ 的最大值；

(2)、延长 $B C$ 至点 $M$ ，使得 $2 \vec{B C} = \vec{C M}$ ．若 $∠ C A M = \frac{π}{4}$ ，求 $∠ B A C$ 的大小．

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