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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，满足 $a^{2} - b^{2} - c^{2} = b c$ ，则 $∠ A =$ （）

A、60° B、60°或120° C、30°或150° D、120°

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2、计算： $cos \frac{5 π}{12} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

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3、化简： $\cos (α + β) \sin α - \sin (α + β) \cos α =$ （）

A、 $\sin β$ B、 $- \sin β$ C、 $\cos β$ D、 $- \cos β$

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4、2022年7月19日，亚洲奥林匹克理事会宣布杭州亚运会定于2023年9月23日至10月8日举行，用 $a$ 标记亚运会开始的日期，即 $a = 9.23$ ，用 $b$ 表示亚运会结束的日期，即 $b = 10.08$ .那么以实数 $a 、 b$ 为端点的区间可以表示为（）

A、 $\{9.23, 10.08\}$ B、 $[10.08, 9.23]$ C、 $[9.23, 10.08]$ D、 $(- \infty, 9.23] \cup [10.08, + \infty)$

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5、已知 $a > b$ ，下列不等式中一定成立是（）

A、 $a^{2} > b^{2}$ B、 $a c^{2} > b c^{2}$ C、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、 $a + 3 > b - 4$

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6、若 $a > b > 0$ ，则下列不等式正确的是（）

A、 $a + 3 < b + 3$ B、 $2 a < 2 b$ C、 $- 2 a > - 2 b$ D、 $a - 1 > b - 1$

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7、已知 $a = 1.732$ ，集合 $A = \{x |x \leq 3\}$ ，则 $a$ 与 $A$ 的关系正确的是（）

A、 $a \notin A$ B、 $a \in A$ C、 $\{a\} = A$ D、 $a = A$

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8、已知集合 $A = \{x |x < 2$ 且 $x \in N\}$ ，集合 $B = {- 1, 0, 1, 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1}$ B、 ${0, 1}$ C、 ${- 1, 0, 1}$ D、 ${- 1, 0, 1, 2}$

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9、如图1，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{2} A D = 2 \sqrt{3}$ ，点 $E$ 为 $A B$ 的中点，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起到 $△ P D E$ 的位置（如图2），使得 $P C = \sqrt{10}$ .

(1)、求证： $D E ⊥ P C$ ；

(2)、求直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值；

(3)、设 $\vec{P F} = λ \vec{P C} (0 < λ < 1)$ ，若二面角 $P - E F - D$ 的正弦值为 $\frac{5}{\sqrt{26}}$ ，求实数 $λ$ 的值.

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10、已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{x^{2} + 1}$ 是定义在 $(- 1, 1)$ 上的奇函数，且 $f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{5}$ .
（1）求函数 $f (x)$ 的解析式；
（2）判断函数 $f (x)$ 的单调性，并证明；
（3）解关于 $x$ 的不等式 $f (2 x - 1) + f (x) < 0$ .

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11、下列命题中是真命题的有（）

A、 $\forall x \in R, x^{2} > x - 1$ B、 $\exists x > 0, x^{2} = x$ C、“ $x < 0$ ”是“ $x^{2} - 5 x + 6 > 0$ ”的充分不必要条件 D、“四边形为菱形”是“四边形为正方形”的充分不必要条件

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12、已知向量 $\vec{a} = (2, - 1), \vec{b} = (1, - 3)$ ．

(1)、求向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量；

(2)、求向量 $m \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 夹角为钝角，求m的取值范围．

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13、如图， $A C$ 为圆锥 $S O$ 底面圆 $O$ 的直径，点 $B$ 是圆 $O$ 上异于 $A$ ， $C$ 的动点， $S O = O C = \sqrt{3}$ ，则下列结论正确的是（）

A、圆锥 $S O$ 的侧面积为 $3 π$ B、三棱锥 $S - A B C$ 体积的最大值为 $\sqrt{3}$ C、圆锥 $S O$ 外接球体积为 $4 \sqrt{3} π$ D、若 $A B = B C$ ， $E$ 为线段 $A B$ 上的动点，则 $S E + C E$ 的最小值为 $3 + \sqrt{3}$

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14、若 $z_{1}$ ， $z_{2} \in C$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $|z_{1} z_{2}| = |z_{1}| |z_{2}|$ B、若 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则 $z_{1} = z_{2}$ 或 $z_{1} = - z_{2}$ C、若 $|z_{1} - z_{2}| = |z_{1} + z_{2}|$ ，则 $z_{1} \cdot z_{2} = 0$ D、若 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ ，则 $\bar{z_{1}} = z_{2}$

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15、已知 $\vec{a} = (2, - 3, 1)$ ， $\vec{b} = (- 2, 1, x)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则x的值为（）

A、7 B、-8 C、6 D、-5

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16、已知函数 $f (x) = \frac{x}{\ln x}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $x = e$ 是函数 $f (x)$ 定义域内的极大值点 B、 $f (x)$ 在 $(1, e^{2}]$ 上的最小值为 $e$ C、 $x = e$ 是函数 $f (x)$ 定义域内的极小值点 D、 $f (x)$ 在定义域内既无最大值又无最小值

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17、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A D = 2, A B = 4, ∠ D A B = \frac{π}{3},$ 点 $E$ 是 $A B$ 的中点，连接 $D E, A C$ ，记它们的交点为 $G$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ $\vec{A D} = \vec{b}$ .

(1)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{A G}$ ；

(2)、求< $\vec{A G}, \vec{A B}$ >的余弦值.

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18、随着科技的进步，近年来，我国新能源汽车产业迅速发展，各大品牌新能源汽车除了靠不断提高汽车的性能和质量来提升品牌竞争力，在广告投放方面的花费也是逐年攀升.某校数学兴趣小组对某品牌新能源汽车近 5 年的广告费投入（单位：亿元）进行了统计，具体数据见下表：
年份代号 $x$
1
2
3
4
5
广告费投入 $y$
4.8
5.6
6. 2
7. 6
8. 8
并随机调查了 400 名市民对该品牌新能源汽车的认可情况，得到的部分数据见下表：

认可
不认可
50 岁以下
140
60
50 岁及以上
120
80

(1)、求广告费投入 $y$ 与年份代号 $x$ 之间的线性经验回归方程；

(2)、依据小概率值 $α = 0.05$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验，能否认为市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度有关联?
附： ① 经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ；
② $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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19、已知 $f (x) = f^{'} (2025) \ln x + \frac{1}{2} x^{2} - x$ ，则 $f^{'} (2025) =$ （）

A、0 B、 $- 2025$ C、1 D、2025

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20、已知 $f (x) = (x - 1) e^{x} + \frac{1}{2} a x^{2}$ .

(1)、当 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处切线的斜率为 $2 e$ ，求此切线的方程；

(2)、在（1）的前提下，求 $f (x)$ 的极值；

(3)、若 $f (x)$ 有 $2$ 个不同零点，求 $a$ 的取值范围．

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年份代号 $x$	1	2	3	4	5
广告费投入 $y$	4.8	5.6	6. 2	7. 6	8. 8

	认可	不认可
50 岁以下	140	60
50 岁及以上	120	80

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828