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相关试卷

1、如图，已知多面体 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}, A_{1} A, B_{1} B, C_{1} C$ 均垂直于平面 $A B C, ∠ A B C = 120 °, A_{1} A = 4, C_{1} C = 1, A B = B C = B_{1} B = 2$ ．
（Ⅰ）求证： $A B_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；
（Ⅱ）求直线 $A C_{1}$ 与平面 $A B B_{1}$ 所成角的正弦值．

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2、用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若 $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数， $f^{″} (x)$ 是 $f^{'} (x)$ 的导函数，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x, f (x))$ 处的曲率 $K = \frac{|f^{″} (x)|}{{(1 + {[f^{'} (x)]}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

(1)、求曲线 $f (x) = \ln x$ 在 $(1, 0)$ 的曲率；

(2)、已知函数 $g (x) = \cos x + 1$ $(x \in R)$ ，求 $g (x)$ 曲率的平方的最大值；

(3)、函数 $h (x) = (x - 2) e^{x} + (\frac{3 + m}{2} - \frac{x}{3} - \ln x) x^{2}$ ，若 $h (x)$ 在两个不同的点处曲率为0，求实数m的取值范围.

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3、如图，在四面体ABCD中， $D A, D B, D C$ 两两垂直， $D A = D B = D C = 2, M$ 是线段AD的中点， $P$ 是线段BM的中点，点 $Q$ 在线段AC上，且 $A C = 4 Q C$ .

(1)、求证： $P Q //$ 平面BCD；

(2)、若点G在平面ABC内，且 $D G ⊥$ 平面BMC，求直线MG与平面ABC所成角的正弦值.

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4、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 的一条渐近线方程为 $y = \frac{1}{2} x$ ，点 $P (t, 0)$ .

(1)、若 $t = 3$ ， $O$ 为坐标原点，过点 $P$ 且斜率为 $1$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于 $A 、 B$ 两点，求 $△ O A B$ 的面积；

(2)、若点 $Q (x, y)$ 是双曲线 $C$ 上任意一点，当且仅当 $Q$ 为双曲线的顶点时， $| P Q |$ 取得最小值，求实数 $t$ 的取值范围．

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5、某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析.球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示.
场上位置
边锋
前卫
中场
出场率
0.2
0.5
0.3
球队胜率
0.5
0.6
0.8

(1)、当甲出场比赛时，求球队赢球的概率；

(2)、当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当前卫的概率；

(3)、如果你是教练员，将如何安排球员甲在场上的位置?请说明安排理由.

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6、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = 3 a_{n} + 1$ ，若 $b_{n} = 2 a_{n} + 1 (n \in N^{*})$ ，抽去数列 $\{b_{n}\}$ 的第3项、第6项、第9项、 $\dots$ 、第 $3 n$ 项、 $\dots$ ，余下的项的顺序不变，构成一个新数列 $\{c_{n}\}$ ，则数列 $\{c_{n}\}$ 的前100项的和为．

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7、下列命题中说法正确的是（）

A、已知随机变量 $X ~ B (n, p)$ ，若 $D (X) = 20, E (X) = 30$ ，则 $p = \frac{2}{3}$ B、将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变 C、设随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (0, 1)$ ，若 $P (ξ > 1) = p$ ，则 $P (- 1 < ξ \leq 0) = \frac{1}{2} - p$ D、某人在9次射击中，击中目标的次数为X，且X~B $(9, 0.8)$ ，则他最有可能命中7或8次

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8、甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）．根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙队获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ．若前两局中乙队以2：0领先，则（）

A、甲队获胜的概率为 $\frac{8}{27}$ B、乙队以3：0获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ C、乙队以3：1获胜的概率为 $\frac{1}{9}$ D、乙队以3：2获胜的概率为 $\frac{4}{9}$

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9、在边长为3的正方形ABCD中，作它的内接正方形EFGH，且使得 $∠ B E F = 15^{°}$ ，再作正方形EFGH的内接正方形MNPQ，使得 $∠ F M N = 15^{°}$ 依次进行下去，就形成了如图所示的图案.设第 $n$ 个正方形的边长为 $a_{n}$ （其中第1个正方形的边长为 $a_{1} = A B$ ，第2个正方形的边长为 $a_{2} = E F, \dots \dots$ )，第 $n$ 个直角三角形（阴影部分）的面积为 $S_{n}$ (其中第1个直角三角形AEH的面积为 $S_{1}$ ，第2个直角三角形EQM的面积为 $S_{2}, \dots \dots$ ， )则下列结论错误的是（）

A、 $a_{2} = \sqrt{6}$ B、 $S_{1} = \frac{3}{4}$ C、数列 $\{a_{n}^{2}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ 取值范围是 $[9, 27)$ D、数列 $\{S_{n}\}$ 是公比为 $\frac{3}{4}$ 的等比数列

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10、函数 $f (x) = \frac{\sin x}{\ln (x^{2} + 1)}$ 的大致图像是（）．

A、 B、 C、 D、

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11、已知随机变量 $X$ 的分布列如下：
$X$
$- 1$
0
1
$P$
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{6}$
$\frac{1}{3}$
设 $Y = 2 X + 1$ ，则 $Y$ 的数学期望 $E (Y)$ 的值是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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12、 ${(2 x - y)}^{5}$ 的展开式中， $x^{2} y^{3}$ 的系数为（）

A、 $- 10$ B、10 C、 $- 40$ D、40

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13、已知函数 $f (x) = \ln x + \frac{2 - a}{x} - 1 - a (a \in R)$ .
（1）讨论函数 $f (x)$ 的单调性；
（2）若 $f (x) > 0$ 在 $(0, + \infty)$ 恒成立，求整数 $a$ 的最大值.

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14、命题“ $\exists x \in R, x^{2} > x$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R, x^{2} < x$ B、 $\forall x \in R, x^{2} < x$ C、 $\exists x \notin R, x^{2} \leq x$ D、 $\forall x \in R, x^{2} \leq x$

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15、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F分别为线段AB， $B_{1} C_{1}$ 的中点．

(1)、求F点到 $A_{1} C$ 的距离

(2)、求点F到平面 $A_{1} C E$ 的距离：

(3)、若平面 $A_{1} E C$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 交于直线l，求二面角 $A_{1} - l - F$ 的余弦值．

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16、对于集合M，定义函数 $f_{M} (x) = \{\begin{matrix} - 1, x \in M, \\ 1, x \notin M . \end{matrix}$ 对于两个集合 $M, N$ ，定义集合 $M Δ N = \{x f_{M} (x) \cdot f_{N} (x) = - 1\}$ .已知 $A = \{2, 4, 6, 8, 10\}, B = \{1, 2, 4, 8, 16\}$

(1)、写出 $f_{A} (1)$ 和 $f_{B} (1)$ 的值，并用列举法写出集合 $A Δ B$ ；

(2)、用 $C a r d (M)$ 表示有限集合M所含元素的个数，求 $C a r d (X Δ A) + C a r d (X Δ B)$ 的最小值；

(3)、有多少个集合对 $(P, Q)$ ，满足 $P$ ， $Q \subseteq A \cup B$ ，且 $(P Δ A) Δ (Q Δ B) = A Δ B$ ？

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17、已知函数 $f (x) = \ln x + \frac{a}{x + 1} (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = \frac{16}{3}$ 时，如果函数 $f (x)$ 的图象与直线 $y = k$ 有三个交点，求实数k的取值范围

(2)、当 $a = 4$ 时，试比较 $f (x)$ 与2的大小．

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18、图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为菱形， $∠ A B C = 60^{\circ}$ ， $A P = A B, E$ 为 $C D$ 的中点.

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $P A E$ ；

(2)、求平面 $P A E$ 与平面 $P B C$ 所成二面角的余弦值.

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19、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + a x^{2} - 6 x + 2$ 在 $x = 2$ 处取得极值．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- 4, 3]$ 上的最小值和最大值．

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20、为了实现中国梦的构想，在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为 $\frac{3}{5}$ ， $\frac{5}{6}$ ， $\frac{2}{3}$ ，且三个项目是否成功相互独立．

(1)、求恰有两个项目成功的概率；

(2)、求至少有一个项目成功的概率．

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场上位置	边锋	前卫	中场
出场率	0.2	0.5	0.3
球队胜率	0.5	0.6	0.8

$X$	$- 1$	0	1
$P$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$