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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (x, 1), \vec{u} = \vec{a} + 2 \vec{b}, \overset{⇀}{v} = 2 \vec{a} - \vec{b}$ ，

(1)、若 $\vec{u} // \vec{v}$ ，求实数x的值．

(2)、若 $\vec{u} ⊥ \vec{v}$ ，求实数x的值．

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2、三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面ABC， $∠ A B C = 90 °$ ， $P A = A B = B C = 6$ ，一球球心在平面ABC内，并且与三个侧面都相切，则球的半径为.

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3、如图，一艘船以每小时20km的速度向东航行，船在 $A$ 处观测灯塔 $C$ 在北偏东 $45 °$ 方向，行驶2h后，船到达 $B$ 处，观测个灯塔 $C$ 在北偏东 $15 °$ 方向，此时船与灯塔 $C$ 的距离为km.

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4、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 是棱 $C_{1} D_{1}$ 的中点，则直线 $B D_{1}$ 与 $C E$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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5、已知向量 $\vec{a} = (- 2, 1), \vec{b} = (- 1, 3)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $(- 1, 3)$ B、 $(- 2, 1)$ C、 $(- \frac{1}{10}, \frac{3}{10})$ D、 $(- \frac{2}{5}, \frac{1}{5})$

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6、已知圆台 $O_{1} O$ 的上、下底面半径分别为3，5，母线长为3，则该圆台的侧面积为（）

A、 $16 π$ B、 $20 π$ C、 $24 π$ D、 $32 π$

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7、已知i为虚数单位，则 $(2 + 3 i) (4 - i) =$ （）

A、 $10 i$ B、 $11 + 10 i$ C、 $11 i$ D、 $10 + 11 i$

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8、每次停放自行车时，将脚撑放下自行车即可固定在地面上，其中蕴涵的道理是（）

A、两条直线确定一个平面 B、三点确定一个平面 C、不共线三点确定一个平面 D、两条平行直线确定一个平面

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9、已知集合 $A = \{- 1, 0, 2\}$ ， $B = \{x ∣ x (x - 1) = 0\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{0\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ D、 $\{- 1, 0, 2\}$

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10、双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}, P$ 是双曲线C右支上一点，且直线 $P F_{2}$ 的斜率为 $\sqrt{2}, △ P F_{1} F_{2}$ 是面积为 $2 \sqrt{2}$ 的直角三角形，则双曲线C的实半轴长为．

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11、为了解本地区居民用水情况，甲、乙两个兴趣小组同学利用假期分别对 $A$ 、 $B$ 两个社区随机选择100户居民进行了“家庭月用水量”的调查统计，利用调查数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示）.甲组同学所得数据的中位数、平均数、众数、标准差分别记为 $a_{1}$ 、 $x_{1}$ 、 $b_{1}$ 、 $s_{1}$ ，乙组同学所得数据的中位数、平均数、众数、标准差分别记为 $a_{2}$ 、 $x_{2}$ 、 $b_{2}$ 、 $s_{2}$ .则下列判断正确的有（）.

A、 $a_{1} < a_{2}$ 且 $x_{1} < x_{2}$ . B、 $b_{1} < b_{2}$ 且 $s_{1} > s_{2}$ . C、 $a_{1} > x_{1}$ 且 $a_{2} = x_{2}$ . D、 $b_{1} < a_{1} < x_{1}$ .

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12、2025年央视春晚的四个分会场分别为重庆、武汉、无锡和拉萨，现有11个志愿者名额分配给这四个分会场，其中一个分会场分5个名额，在余下的三个分会场中每个会场至少分一个名额，则名额分配的不同种数为（）

A、210 B、35 C、40 D、120

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13、函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，记 $f (x)$ 的图象在点 $(a, f (a))$ 处的切线方程为 $y = g_{a} (x)$ ．定义集合 $P_{f} = \{a \in D |\forall x \neq a, \frac{f (x) - g_{a} (x)}{x - a} > 0\}$ ；集合 $Q_{f} = \{a \in D |\forall x \neq a, \frac{f (x) - g_{a} (x)}{x - a} < 0\}$ ．

(1)、若 $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{3})$ ，求 $g_{\frac{π}{6}} (x)$ ；

(2)、若 $f (x) = e^{x}$ ， $e$ 为自然对数底数（下同），求证： $P_{f} = \emptyset$ ；

(3)、若 $f (x) = (x^{2} + 2 x) e^{x}$ ，求 $P_{f} \cup Q_{f}$ ，并说明理由．

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14、已知抛物线 $Γ$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F (1, 0)$ ，直线l与抛物线 $Γ$ 交于A，B两点，且 $M (\frac{5}{2}, 1)$ 为线段AB的中点．

(1)、求抛物线 $Γ$ 的标准方程；

(2)、求直线l的方程；

(3)、过点 $Q (m, 1) (m < 0)$ 作抛物线 $Γ$ 的两条切线，分别交l于C，D两点，求 $△ Q C D$ 面积的最小值.

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{1} (b_{1} + 1) + a_{2} (b_{2} + 1) + \dots + a_{n} (b_{n} + 1) = (2 n - 3) \cdot 2^{n + 1} + 6$ ， $n \in N^{*}$ ，且 $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $b_{n + 1} = 2 b_{n} + 1$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求 $[\sum_{n = 1}^{50} \frac{1}{\sqrt{a_{n}}}]$ 的值.（其中 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，如 $[3.2] = 3$ ）

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16、已知四棱锥 $P - A B C D$ ，底面ABCD是直角梯形，侧面PAD是等边三角形， $A D ∥ B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， AD=2，BC=1， $A B = \sqrt{3}$ ， M是PD的中点.

(1)、求证：直线 $C M ∥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、当二面角 $P - A D - B$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ 时，求直线CM与平面ABCD所成角的正弦值．

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17、某市为了推广垃圾分类，在全市范围内开展了一系列宣传活动.为了评估宣传效果，市环保部门随机抽取了1000名市民进行调查.假设该市成年人口为100万，且调查结果可以代表全市成年人口的情况.调查结果如右：
了解情况
非常了解
一般了解
不了解
人数（名）
580
320
100

(1)、从该市成年人口中随机抽取1人，求其对垃圾分类知识“不了解”的概率；

(2)、该市环保部门计划对“不了解”垃圾分类知识的市民进行重点宣传.假设经过重点宣传后，“不了解”的市民中有50%转变为“一般了解”，有20%转变为“非常了解”，其余保持不变.经过重点宣传后，从该市成年人口中随机抽取3人，记X为其中对垃圾分类知识“非常了解”的人数，求X的分布列及数学期望.

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18、已知集合 $S = \{x \in Z |(x - 1) [x - (4 k + 1)] \leq 0, k \geq 2, k \in Z\}$ ，含两个元素的集合 $A = \{x_{1}, x_{2}\} \subseteq S$ ．
（1）若 $x_{1} + x_{2} \in S$ ，则满足条件的集合A的个数为；
（2）若 $\frac{2 x_{1} + x_{2}}{4} \in Z$ ，则满足条件的不同的有序数对 $(x_{1}, x_{2})$ 的个数为．（结果均要化简）

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19、如图，已知在 $△ A B C$ 中， $A B = 3$ ， $A C = 2 \sqrt{2}$ ， $B C = \sqrt{5}$ ， $D$ 是线段 $A C$ 上的动点， $E$ 、 $F$ 是线段 $A B$ 上的动点（ $F$ 在 $E$ 的右侧），且四边形 $D E F G$ 是正方形，则线段 $C G$ 长度的最小值是．

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20、已知 $\cos α + \cos β = \frac{1}{3}$ ， $\sin α + \sin β = \frac{1}{2}$ ，则 $\cos (α - β)$ = ．

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了解情况	非常了解	一般了解	不了解
人数（名）	580	320	100