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相关试卷

1、在锐角 $△ A B C$ 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知边 $c = 2$ ，且 $a \cdot sin A - a \cdot sin B = c \cdot sin C - b \cdot sin B$ .

(1)、若 $sin C + sin (B - A) = sin 2 A$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、记 $A B$ 边的中点为 $M$ ，求 $|C M|$ 的最大值，并说明理由.

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2、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\frac{2 c - b}{a} = \frac{cos B}{cos A}$

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 2$ ，求中线 $A D$ 长的范围（点 $D$ 是边 $B C$ 中点）.

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3、已知棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中．
（1）证明： $D_{1} A / /$ 平面 $C_{1} B D$ ；
（2）求三棱锥 $B - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积．

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4、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B C$ 是等边三角形， $A A_{1} = A B$ ， D，E，F分别是棱 $A A_{1}$ ， $B B_{1}$ ， $B C$ 的中点，则异面直线 $D F$ 与 $C_{1} E$ 所成角的余弦值是.

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5、已知向量 $\overset{⃑}{O C} = (2 ， 2)$ ， $\overset{⃑}{C A} = (\sqrt{2} cos α ， \sqrt{2} sin α)$ ，则向量 $\overset{⃑}{O A}$ 的模的最大值是.

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6、已知圆柱的两个底面的圆周都在表面积为 $20 π$ 的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为．

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7、已知两个不相等的非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，两组向量 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ， $x_{5}$ 和 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ ， $y_{4}$ ， $y_{5}$ 均由2个 $\vec{a}$ 和3个 $\vec{b}$ 排列而成.记 $S = x_{1} \cdot y_{1} + x_{2} \cdot y_{2} + x_{3} \cdot y_{3} + x_{4} \cdot y_{4} + x_{5} \cdot y_{5}$ ， $S_{min}$ 表示 $S$ 所有可能取值中的最小值.则下列命题中真命题为（）

A、 $S$ 可能有5个不同的值 B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $S_{min}$ 与 $|\vec{a}|$ 无关 C、若 $|\vec{b}| > 4 |\vec{a}|$ ，则 $S_{min} > 0$ D、若 $|\vec{b}| = 2 |\vec{a}|$ ， $S_{\min} = 8 {|\vec{a}|}^{2}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$

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8、关于直线 $m$ ， $n$ 与平面 $α$ ， $β$ ，以下四个命题中真命题是

A、若 $m / / α$ ， $n / / β$ 且 $α / / β$ ，则 $m / / n$ B、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ 且 $α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $m ⊥ α$ ， $n / / β$ 且 $α / / β$ ，则 $m ⊥ n$ D、若 $m / / α$ ， $n ⊥ β$ 且 $α ⊥ β$ ，则 $m / / n$

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9、已知 $a, b$ 表示两条直线， $α, β, γ$ 表示三个不重合的平面，给出下列命题，正确的是（）

A、若 $α \cap γ = a, β \cap γ = b$ ，且 $a / / b$ ，则 $α / / β$ B、若 $a, b$ 相交，且都在 $α, β$ 外， $a / / α, b / / α, a / / β, b / / β$ ，则 $α / / β$ C、若 $a / / α, b / / β$ ，且 $a / / b$ ，则 $α / / β$ D、若 $a \subset α, a / / β, α \cap β = b$ ，则 $a / / b$

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10、如图，某人用 $1.5 m$ 长的绳索，施力 $25 N$ ，把重物沿着坡度为30°的斜面向上拖了 $6 m$ ，拖拉点在竖直方向距离斜面的高度为 $1.2 m$ ，则此人对该物体所做的功为（）

A、 $\sqrt{13} J$ B、 $30 \sqrt{13} J$ C、 $125 J$ D、 $150 J$

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11、下列命题正确的为（）
①若 $△ A B C$ 在平面 $α$ 外，它的三条边所在的直线分别交 $α$ 于P、Q，R，则P，Q，R三点共线；
②若三条直线a，b、c互相平行且分别交直线 $l$ 于A、B、C三点，则这四条直线共面；
③已知a，b，c为三条直线，若a，b异面，b，c异面，则a，c异面；
④已知a，b，c为三条直线，若 $a ⊥ c$ ， $b ⊥ c$ ，则 $a ∥ b$ .

A、①③ B、②③ C、②④ D、①②

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12、定义：若 $z^{2} = a + b i (a, b \in R)$ ，则称复数 $z$ 是复数 $a + b i$ 的平方根.根据定义，复数 $9 - 40 i$ 的平方根为（）

A、 $3 - 4 i$ ， $- 3 + 4 i$ B、 $4 + 3 i$ ， $4 - 3 i$ C、 $5 - 4 i$ ， $- 5 + 4 i$ D、 $4 - 5 i$ ， $- 4 + 5 i$

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13、若 $0 < α < \frac{π}{2}$ ， $0 < β < \frac{π}{2}$ ， $\cos (α + β) = \frac{3}{5}$ ， $\sin (β - \frac{π}{4}) = \frac{5}{13}$ ，则 $\cos (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{56}{65}$ D、 $\frac{36}{65}$

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14、如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面三角形 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（）

A、直线 $C C_{1}$ 与直线 $B_{1} E$ 是异面直线 B、直线 $C C_{1}$ 与直线AE是共面直线 C、直线AE与直线 $B_{1} C_{1}$ 是异面直线 D、直线AE与直线 $B B_{1}$ 是共面直线

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15、若复数 $z$ 满足 $z = 5 - \sqrt{3} i$ ，则 $z$ 的虚部是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3} i$ D、 $- \sqrt{3} i$

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16、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a} + \frac{y^{2}}{3} = 1 (a > 3)$ 的离心率为 $\frac{2}{a}, A (- 4, 0), B (1, 0)$ ，过定点 $D (x_{0}, y_{0})$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $M, N$ 两点，直线 $l$ 的斜率不为0．

(1)、求 $C$ 的长轴长．

(2)、若 $x_{0} = 4, y_{0} = 0$ ，证明：直线 $B M, B N$ 的斜率之和为定值

(3)、若 $x_{0} = \frac{3}{2}, y_{0} = 2$ ，设直线 $A M, A N$ 分别交 $C$ 于 $P, Q$ （都异于 $M, N$ ）两点，且 $l$ 的斜率存在，证明直线 $P Q$ 过定点，并求出定点坐标．

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17、若数列 $\{X_{n} + Y_{n}\}$ 是等差数列，则称 $\{X_{n}\}$ 与 $\{Y_{n}\}$ 互为和等差数列．已知 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和．

(1)、若 $a_{n} = \{\begin{matrix} 2, n = 1, \\ 2 n - 2 + 2^{n - 1}, n \geq 2 \end{matrix}$ ， $b_{n} = - 2^{n} - n^{2} + 2$ ，试问 $\{S_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 是否互为和等差数列？说明你的理由．

(2)、设 $\{b_{n}\}$ 为等比数列， $S_{n} = 2 a_{n} + n$ ，且 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 互为和等差数列．
①求 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；
②设 $c_{n} = a_{n}^{3} - b_{n}^{3}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18、设函数 $f (x) = a x^{2} + ln (x + 1)$ ．

(1)、当 $a = - \frac{1}{4}$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、当 $a > 0$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性．

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19、年末某商场举办购物有奖活动：若购物金额超过1000元，则可以抽奖一次，奖池中有9张卡片，“福”“迎”“春”卡各2张，“蛇”卡3张，每次抽奖者从中随机抽取4张卡片，抽到“蛇”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，最终得7分的人可得120元奖金，最终得4分的人可得60元奖金，其他最终得分的人可得20元奖金．已知小钟获得一次抽奖机会．

(1)、求小钟抽到“福”“迎”“春”“蛇”卡各1张的概率；

(2)、记小钟的中奖金额为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望．

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20、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形，且 $A B ⊥ P D$ ．

(1)、证明：平面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ．

(2)、若 $P A ⊥ A D$ ， $A B = P A = 3$ ， $A D = 6$ ， $\vec{P D} = 3 \vec{E D}$ ，求直线 $C E$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值．

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