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相关试卷

1、若等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} + a_{2} = 2$ ， $a_{1} - a_{3} = 3$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的公比等于（）

A、 $- \frac{1}{2}$ 或 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ 或 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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2、已知向量 $\vec{a} = (1, - 2)$ ， $\vec{b} = (- 3, 2)$ ， $\vec{c} = (1, 1)$ ，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} =$ （）

A、2 B、0 C、 $- 2$ D、 $- 7$

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3、已知集合 $A = \{1, 2, 3\}$ ， $B = \{x| x^{2} - x = 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1\}$ B、 $\{2\}$ C、 $\{- 1, 2\}$ D、 $\{1, 2\}$

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4、设 ${a_{n}}$ 是等比数列，公比大于0，其前n项和为 $S_{n} (n \in N^{*})$ ， ${b_{n}}$ 是等差数列.已知 $a_{1} = 1$ ， $a_{3} = a_{2} + 2$ ， $a_{4} = b_{3} + b_{5}$ ， $a_{5} = b_{4} + 2 b_{6}$ .
（I）求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；
（II）设数列 ${S_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n} (n \in N^{*})$ ，
（i）求 $T_{n}$ ；
（ii）证明 $\sum_{k = 1}^{n} \frac{(T_{k} + b_{k + 2}) b_{k}}{(k + 1) (k + 2)} = \frac{2^{n + 2}}{n + 2} - 2 (n \in N^{*})$ .

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5、数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{2} = 5, a_{n + 2} = 3 a_{n + 1} - 2 a_{n}$ .

(1)、求证：数列 ${a_{n + 1} - a_{n}}$ 是等比数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、若 $b_{n} = n a_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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6、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为矩形， $E, F$ 分别为 $P A, C D$ 的中点．

(1)、求证： $D E / /$ 平面 $P B F$ ；

(2)、若 $P A = A B = 1, B C = 2$ ，求直线 $P C$ 与平面 $P B F$ 所成角的正弦值．

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7、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$

(1)、若数列 $\{a_{n}\}$ 是公比为2的等比数列，且 $a_{3}$ 是 $a_{1}$ 与 $a_{4} - 1$ 的等差中项，求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式及 $S_{n}$ ；

(2)、若 $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ .求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

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8、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = n |\cos \frac{n π}{3}|$ ，在 $a_{n}, a_{n + 1}$ 中插入n个2，按照原有顺序构成数列 $\{b_{n}\}$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 的前480项和为．

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9、已知夹角为 $60^{\circ}$ 的非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2 |\vec{b}|$ ， $(2 \vec{a} - t \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $t =$ .

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10、记 $S_{n}$ 为正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $T_{n}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项积，已知 $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{a_{n} - 1}$ ，则（）

A、 $a_{n} > 1$ B、 $\{a_{n}\}$ 可能为常数列 C、 $S_{2 n} \geq 4 n$ D、 $T_{n + 2} = (S_{n + 2} + S_{n}) T_{n}$

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11、下列函数求导运算正确的是（）

A、 ${({log}_{3} x)}^{'} = \frac{1}{x ln 3}$ B、 ${(x^{2} - \frac{1}{x})}^{'} = 2 x + \frac{1}{x^{2}}$ C、 ${(sin 2 x)}^{'} = 2 cos 2 x$ D、 ${(\frac{e^{x}}{x})}^{'} = \frac{(x + 1) e^{x}}{x^{2}}$

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12、已知点 $A (4 + k, 0)$ ， $B (k, 3)$ ，若以 $C (25, 20)$ 为圆心，5为半径的圆与线段 $A B$ 的垂直平分线相切，则 $k =$ （）

A、 $\frac{123}{8}$ B、 $\frac{23}{8}$ 或 $\frac{123}{8}$ C、 $\frac{23}{8}$ D、 $\frac{13}{8}$ 或 $\frac{123}{8}$

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13、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左，右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，过C的右焦点 $F (2, 0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的右支交于 $P, Q$ 两点.当 $l$ 与 $x$ 轴垂直时， $∠ P A_{1} F = \frac{π}{4}$ .

(1)、求C的方程；

(2)、直线 $A_{1} P$ ， $A_{1} Q$ 与直线 $x = 1$ 的交点分别为 $M, N$ ， $E$ 为 $A_{2} M$ 的中点.
（i）求 $| M N |$ 的最小值；
（ii）证明：点 $A_{2}$ 关于直线 $E F$ 对称的点在 $l$ 上.

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14、如图，在多面体 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B C$ 为正三角形， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $B B_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A A_{1} < B B_{1} < C C_{1}$ ， $O$ ， $O_{1}$ 分别为 $△ A B C$ 与 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的重心.

(1)、求证： $B B_{1} / / O O_{1}$ ，且平面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 平面 $B B_{1} O_{1} O$ ；

(2)、若 $A B = A A_{1} = 2$ ， $B B_{1} = 3$ ，直线 $A_{1} C_{1}$ 与平面 $A B C$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ ，求 $C_{1}$ 到平面 $A O_{1} C$ 的距离.

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15、已知函数 $f (x) = (a - x) e^{x}$ ， $a \in R$ ．

(1)、若 $a = 2$ ，求曲线 $y = f (x)$ 的斜率为1的切线方程；

(2)、若不等式 $f (x) > 1 - x$ 没有整数解，求实数 $a$ 的取值范围．

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16、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $b = 2$ .

(1)、若 $\frac{sin C}{sin B} = \frac{\sqrt{10}}{2}, cos C = \frac{1}{4}$ ，求 $a$ ；

(2)、若 $a^{2}, b^{2}, c^{2}$ 依次成等差数列，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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17、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} a x - ln x - 1, x > 0 \\ - 2 x^{3} - a x^{2} + 1, x \leq 0 \end{array}$ ， $\forall x \in (0, + \infty)$ ，有 $f (x) \cdot f (- x) \geq 0$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是．

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18、若 $λ sin 160^{\circ} + tan 20^{\circ} - \sqrt{3} = 0$ ，则实数 $λ$ 的值为．

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19、已知 $i$ 为虚数单位，若 $(1 - i) (2 + a i)$ 是纯虚数，则实数 $a =$ ．

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20、已知函数 $f (x) = - a x^{3} + 3 x^{2} + 1$ ，则下列命题中正确的是（）

A、0是 $f (x)$ 的极小值点 B、当 $- 1 < a < 0$ 时， $f (a - 1) < f (a)$ C、若 $a = 1$ ，则 $f (- 2022) + f (- 2023) + f (2024) + f (2025) = 12$ D、若 $f (x)$ 存在极大值点 $x_{1}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，其中 $x_{1} \neq x_{2}$ ，则 $x_{1} + 2 x_{2} = 0$

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