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相关试卷

1、若函数 $f (x) = e^{a x} ln (x + 1)$ 有极值，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 0) \cup (e, + \infty)$ B、 $(- \infty, 0) \cup (e^{2}, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (\frac{1}{e}, + \infty)$

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2、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，若 $F$ 关于直线 $y = 3 x$ 的对称点 $P$ 在 $C$ 上，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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3、在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.以织女星的亮度 $I_{0}$ 为标准，天体的星等 $m$ 与亮度 $I$ 满足 $m = - \frac{5}{2} lg \frac{I}{I_{0}}$ ，已知北极星的星等为2，牛郎星的星等为0.8，则北极星与牛郎星的亮度之比为（）

A、 $10^{\frac{5}{2}}$ B、 $10^{- \frac{5}{2}}$ C、 $10^{\frac{12}{25}}$ D、 $10^{- \frac{12}{25}}$

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4、袋中有5个除颜色外完全相同的小球，其中3个红球，2个白球.从袋中不放回地依次随机取出2个球，则这2个球颜色相同的概率为（）

A、 $\frac{13}{25}$ B、 $\frac{12}{25}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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5、已知两个非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则向量 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $\vec{b}$ B、 $- \vec{b}$ C、 $2 \vec{a}$ D、 $- 2 \vec{a}$

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6、居民消费价格指数（Consumer Price Index，简称CPI），是度量一定时期内居民消费商品和服务价格水平总体变动情况的相对数，综合反映居民消费商品和服务价格水平的变动趋势和变动程度.下图是2024年11月9日国家统计局公布的2024年10月各类商品及服务价格同比和环比涨跌幅情况（同比 $= \frac{本期数 - 去年同期数}{去年同期数} \times 100 %$ ，环比 $= \frac{本期数 - 上期数}{上期数} \times 100 %$ ），下列结论正确的是（）

A、2024年10月份食品烟酒类价格低于2023年10月份食品烟酒类价格 B、2024年10月份教育文化娱乐类价格低于2024年9月份教育文化娱乐类价格 C、2024年9月份医疗保健类价格高于2023年10月份医疗保健类价格 D、2024年9月份居住类价格高于2023年10月份居住类价格

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7、已知集合 $A = {x | x^{3} < 1}, B = {x | 2^{x} > \frac{1}{2}}$ ，则（）

A、 $A \cap B = {x | x < - 1}$ B、 $A \cap B = {x | - 1 < x < 1}$ C、 $A \cup B = {x | x < - 1}$ D、 $A \cup B = {x | x < 1}$

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8、若 $(1 - i) z = i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ B、 $- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ D、 $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$

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9、在 $△ A B C$ 中，满足 $c + \sqrt{3} a \sin B - b - a \cos B = 0$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{19}$ ，边BC上的中线 $A D = \sqrt{7}$ ，设点 $O$ 为 $△ A B C$ 的外接圆圆心．
①求 $△ A B C$ 的周长和面积：
②求 $\vec{A O} \cdot \vec{A D}$ 的值．

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10、已知向量 $\vec{a} = (2 \cos x, 2 \cos x), \vec{b} = (\sqrt{3} \sin x, \cos x)$ ，设函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间；

(2)、若 $f (x) = t^{2} - 2 t$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上有解，求实数 $t$ 的取值范围.

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11、已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{x^{2} + 4}$ 是定义在 $(- 2, 2)$ 上的函数， $f (- x) = - f (x)$ 恒成立，且 $f (1) = \frac{2}{5}$ ．

(1)、确定函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、用定义证明 $f (x)$ 在 $(- 2, 2)$ 上是增函数：

(3)、解不等式 $f (x - x^{2}) + f (x) < 0$ ．

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12、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，满足 $| \vec{a} | = \sqrt{3}, | \vec{b} | = 3, \vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = - \frac{3}{2}$ ．

(1)、求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ 及 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 的值；

(2)、设函数 $f (x) = | \vec{a} - x \vec{b} |$ ，求函数 $f (x)$ 的最小值，及对应的实数 $x$ 的值．

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13、在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2, A C = 3, ∠ B A C = 60^{\circ}$ ，点 $D$ 和点 $E$ 分别在边BC和AC上，AD平分角 $A$ ， $A E = C E, A D, B E$ 相交于点 $P$ ，则 $\cos ∠ D P E =$

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14、向量 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 2, | \vec{c} | = 1$ ，若存在实数 $t$ ，使得 $\vec{c} = t \vec{a} + (1 - t) \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{b})$ 的取值范围是

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15、已知奇函数 $f (x)$ 和偶函数 $g (x)$ 满足 $f (x) + g (x) = a^{x} (a > 0$ ，且 $a \neq 1)$ ，则（）

A、 $g (x) \geq 1$ B、 $\forall x \in R, f (2 x - 1) \leq f (m x^{2})$ 恒成立，则 $0 < m \leq 1$ C、 ${[g (x)]}^{2} \geq {[f (x)]}^{2} + \sin x$ D、 $f (x) f (y) + g (x) g (y) = g (x + y)$

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16、 $x_{1}, x_{2}$ 为函数 $f (x) = | \ln x | - a$ 的两个零点，其中 $x_{1} < x_{2}$ ，则下列说法错误的是（）

A、 $x_{1} x_{2} = 1$ B、 $x_{1} + x_{2} > 2$ C、 $x_{1} + 2 x_{2}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 x_{1} + x_{2}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$

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17、若 $\sin (α - \frac{π}{6}) = \frac{3}{5}$ ，则 $\cos (\frac{5 π}{3} - α) =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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18、下列函数中，是奇函数且在 $R$ 上单调递增的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x}$ B、 $g (x) = 2^{x} - 2^{- x}$ C、 $h (x) = x - \frac{1}{x}$ D、 $φ (x) = \sin x$

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19、已知等边 $△ A B C$ 的边长为 $1, \vec{B C} = \vec{a}, \vec{C A} = \vec{b}, \vec{B A} = \vec{c}$ ，那么 $\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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20、若向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (2, - x), \vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、 $- 4$ D、4

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