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相关试卷

1、已知集合 $A = \{x |x + \frac{1}{x} < 0\}$ ， $B = \{x |4 - x > 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- \infty, 0)$ B、 $(0, 4)$ C、 $(0, + \infty)$ D、 $(4, + \infty)$

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2、正弦型函数被广泛运用于信号处理领域．不同周期的正弦型函数叠加，是构建复杂信号的重要方式，在诸多领域（如音频处理、图象处理、通信系统等）中发挥着关键作用．
已知函数 $f_{n} (x) = \sin x + \frac{\sin 3 x}{3} + \frac{\sin 5 x}{5} + \dots + \frac{\sin (2 n - 1) x}{2 n - 1}$ ， $n \in N^{*}$ ， $x \in (0, 2 π)$ ．

(1)、求 $f_{1} (x - \frac{2 π}{3}) + f_{1} (x) + f_{1} (x + \frac{2 π}{3})$ 的值；

(2)、设函数 $F (x) = f_{1} (x) \cdot f_{2} (x)$ ，求 $F (x)$ 的值域；

(3)、本小题你有两个选择，请选择其中一个作答：
①判断函数 $y = f_{3} (x)$ 的零点个数，并说明理由；
②判断函数 $y = f_{n} (x)$ 的零点个数，并说明理由．

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3、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．已知 $\cos 2 B - \cos 2 A = 2 \sin B \sin C$ ．

(1)、若 $B = C$ ，求 $A$ ；

(2)、求 $\frac{a}{b}$ 的取值范围；

(3)、设 $D$ 是边 $B C$ 上一点，若 $B = \frac{π}{12}$ ， $\tan ∠ C A D = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ ，记 $△ A B D$ ， $△ A D C$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值．

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4、已知向量 $\vec{m} = (- \cos x, \sin x)$ ， $\vec{n} = (\sqrt{3} \sin x + 2 \cos x, \sin x)$ ，函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n} + \frac{1}{2}$ ．

(1)、若 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ，求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若 $x \in [0, \frac{π}{3}]$ ， $f (x) = - 1$ ，求 $cos (2 x + \frac{π}{12})$ 的值．

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5、在 $△ A B C$ 中，已知 $|\vec{A B}| = 2$ ， $|\vec{A C}| = 4$ ， $\vec{A B}$ 和 $\vec{A C}$ 的夹角为 $θ$ ，且 $\cos θ = \frac{1}{4}$ ．

(1)、若 $D$ 为 $A B$ 的中点，求 $\vec{A B} \cdot \vec{C D}$ ．

(2)、已知 $\vec{B E} = λ \vec{B C}$ ，若 $| \vec{A E} | = \frac{\sqrt{15}}{2}$ ，求实数 $λ$ 的值．

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6、设 $x$ 为实数，已知复数 $z = (x - 2) + (x^{2} - 9) i$ ．

(1)、若 $z$ 对应的点在第一象限，求 $x$ 的取值范围；

(2)、若 $m$ 为实数，且 $z$ 与复数 $m - 5 i$ 相等，求 $m$ 的值．

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7、设向量 $\vec{α}$ ， $\vec{β}$ 的夹角为 $θ$ ，定义 $\vec{α} ⊙ \vec{β} = | \vec{α} | | \vec{β} | \sin θ$ ，若平面内互不相等的两个非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足： $| \vec{a} | = 1$ ， $(\vec{a} - \vec{b})$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $135 °$ ，则 $\vec{a} ⊙ \vec{b}$ 的最大值为．

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8、若 $α$ 是第一象限角，且 $\sin α = \frac{4}{5}$ ，则 $\frac{1 - \tan \frac{α}{2}}{1 + \tan \frac{α}{2}}$ 的值为．

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9、在 $△ A B C$ 中， $H$ 为 $B C$ 的中点， $M$ 为 $A H$ 的中点．若 $\vec{A M} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则 $λ + μ$ 的值为．

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10、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对应的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．已知 $a < b < c$ ，且 $a$ ， $b$ ， $c$ 为连续正整数，则（）

A、存在唯一的 $△ A B C$ ，使得 $C = 90 °$ B、存在无数个 $△ A B C$ ，使得 $C = 90 °$ C、存在唯一的 $△ A B C$ ，使得 $C = 2 A$ D、不存在 $△ A B C$ ，使得 $C = 3 A$

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11、已知 $| \vec{O M} | = | \vec{O N} | = 2$ ， $\vec{O M}$ 与 $\vec{O N}$ 夹角为 $\frac{π}{3}$ ，若 $| \vec{O P} | = 2$ 且 $\vec{O P} = x \vec{O M} + y \vec{O N}$ （ $x \geq 0$ ， $y \geq 0$ ），则下列说法正确的是（）

A、当 $y = 0$ 时， $\vec{O P}$ 在 $\vec{O N}$ 上的投影向量为 $\frac{\sqrt{3}}{2} \vec{O N}$ B、当 $x = y$ 时， $\vec{O P} \cdot \vec{M N} = 0$ C、 $\vec{O P} \cdot \vec{O M}$ 的最小值为2 D、 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的最大值为0

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12、已知 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 是复数，则下列说法正确的是（）

A、若 $z_{2} = \bar{z_{1}}$ ，则 $z_{1} - z_{2} \in R$ B、若 $z_{2} = \bar{z_{1}}$ ，则 $z_{1} z_{2} = {|z_{1}|}^{2}$ C、若 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则 $z_{1} = z_{2}$ D、若 $\frac{1}{z_{1}} \in R$ ，则 $z_{1} \in R$

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13、如图， $A$ ， $B$ ， $C$ 为某山脚两侧共线的三点，在山顶 $P$ 处测得三点的俯角分别为 $α = 60 °$ ， $β = 45 °$ ， $γ = 30 °$ ，现需要沿直线 $A C$ 开通穿山隧道 $D E$ ，已知 $B C = 150 m$ ， $A D = 30 m$ ， $E B = 20 m$ ，则隧道 $D E$ 的长度为（）

A、 $100 + 100 \sqrt{3} m$ B、 $150 + 100 \sqrt{3} m$ C、 $150 \sqrt{2} + 150 \sqrt{6} m$ D、 $100 \sqrt{2} + 100 \sqrt{6} m$

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14、已知正八边形 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6} A_{7} A_{8}$ 的边长为2，则 $\vec{A_{1} A_{4}} \cdot \vec{A_{1} A_{7}} =$ （）

A、 $2$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $4 + 2 \sqrt{2}$ D、 $4 + \sqrt{2}$

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15、 $\frac{2 \cos 40 ° - \sin 70 °}{\cos 70 °} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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16、若 $sin (α + β) = \frac{2}{3}$ ， $sin (α - β) = - \frac{1}{5}$ ，则 $\frac{\tan β}{\tan α} =$ （）

A、 $- \frac{7}{13}$ B、 $\frac{7}{13}$ C、 $- \frac{13}{7}$ D、 $\frac{13}{7}$

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17、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对应的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．若 $c^{2} = {(a - b)}^{2} + 4 \sqrt{3}$ ，且 $C = \frac{π}{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$ C、3 D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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18、在 $△ A B C$ 中，若 $\tan B + \tan C + \sqrt{3} \tan B \tan C = \sqrt{3}$ ，则 $A =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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19、已知锐角三角形 $A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且满足 $\frac{sin A}{sin C} - 1 = \frac{{sin}^{2} A - {sin}^{2} C}{{sin}^{2} B}$ ， $A \neq C$ .

(1)、求证： $B = 2 C$ ；

(2)、求 $\frac{1}{cos C} + \frac{a}{b}$ 的取值范围；

(3)、若 $a = 2$ ，求三角形 $A B C$ 面积的取值范围．

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20、已知 $f (x) = e^{x} + \frac{m}{e^{x}}$ 是偶函数.
（1）求实数 $m$ 的值；
（2）解不等式 $f (2 x) \geq f (x + 1)$ ；
（3）记 $g (x) = \ln {(3 - a) [f (x) - e^{- x}] + 1} - \ln 3 a - 2 x$ ，若 $g (x) \leq 0$ 对任意的 $x \in [0, + \infty)$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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