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相关试卷

1、已知 $sin 2 α = \frac{4}{5}$ ，则 ${sin}^{2} (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{9}{10}$

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2、如图，等腰梯形 $A B C D$ 为某圆台的轴截面，满足 $A B = 2 B C = 2 C D = 4$ ，则该圆台的体积为（）

A、 $\frac{14}{3} π$ B、 $\frac{16}{3} π$ C、 $\frac{7 \sqrt{3}}{3} π$ D、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3} π$

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3、已知集合 $A = \{1, 2, 3\}$ ， $B = \{x ∣ y = lg (x - 1)\}$ ，则 $A \cap B$ 中元素的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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4、已知 $i$ 为虚数单位， ${(1 + i)}^{2} =$ （）

A、 $- 2 i$ B、 $2 i$ C、 $2 - 2 i$ D、 $2 + 2 i$

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5、已知复数 $z = 2 + 3 i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $- 3$ B、 $3$ C、 $- 3 i$ D、 $3 i$

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6、已知函数 $y = f (x)$ 及其导数 $y = f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且 $f^{'} (x) + f (x) \geq 2 x$ 对一切 $x \in R$ 恒成立.

(1)、若 $m$ ， $b \in R$ ， $f (x) = m x + b$ ，求 $m$ 的值；

(2)、若 $y = f (x)$ 是二次函数，求 $f (0)$ 的取值范围；

(3)、若 $y = f (x)$ 同时满足 $f^{'} (x) + f (x) \leq 2 x + 1$ 对一切 $x \in R$ 恒成立且 $f (0) = 0$ ，证明：函数 $y = f (x)$ 没有最大值，但是有最小值.[提示：一个在闭区间上的连续函数，函数的最大值与最小值一定存在.］

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7、已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + 1$ ， $x \in (- \infty, - 1]$ 其中 $a > 0$ ， $b \in R$ .

(1)、曲线 $y = f (x)$ 在 $(- 2, - 1)$ 处的切线方程为 $y = 3 x + 5$ ，求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、当 $a = 3$ 时，求 $f (x)$ 的极值点；

(3)、当 $a^{2} = 4 b$ 时，若函数 $f (x)$ 在区间 $(- \infty, - 1]$ 上的最大值为 $1$ ，求 $a$ 的取值范围.

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{3} = 6$ ，且对任意的 $n \geq 2, n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n + 1} + a_{n - 1} = 2 a_{n} + 3$ .

(1)、设 $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、数列 $c_{n} = [lg b_{n}], [x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，求 $\{c_{n}\}$ 的前350项和 $T_{350}$ .

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9、已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x} - 2 sin x + 2$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f (ln x + x^{2} - a x) + f (e^{x} - 2 ln x) \geq 4$ 在 $(0, + \infty)$ 上恒成立，则实数 $a$ 的最大值为．

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10、若随机变量 $X \sim N (3, σ^{2})$ ，且 $P (1 \leq X \leq 3) = a$ ， $P (X \geq 5) = b$ ，则 $\frac{3 a + 4 b}{2 a b}$ 的最小值为

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11、已知函数 $f (x) = x^{2} (x - a)$ ，则（）

A、曲线 $y = f (x)$ 的图象与 $x$ 轴有交点 B、当 $a > 0$ 时， $f (x)$ 在 $x = 0$ 处有极大值 C、存在 $a > 0$ ，使得 $(1, - 1)$ 是曲线 $y = f (x)$ 的对称中心 D、当 $a = 3$ 时，若曲线 $y = f (x)$ 与曲线 $y = - x^{2} + 4 x + m$ 在 $[0, + \infty)$ 上有两个交点，则 $m \in (- 8, 0]$

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12、某母牛养殖基地有 $A$ 品种牛126头、 $B$ 品种牛84头、 $C$ 品种牛42头，根据发展需要，拟用分层抽样的方法，从这252头牛中抽取12头向外出售，则下列说法正确的是（）

A、12头牛中 $A$ 品种牛、 $B$ 品种牛、 $C$ 品种牛的数量分别为6头、4头、2头 B、客户甲从向外出售的12头牛中的 $B$ 品种牛、 $C$ 品种牛中随机挑选4头，则这4头中至少含有3头 $B$ 品种牛的概率为 $\frac{4}{5}$ C、客户乙从向外出售的12头牛中的 $A$ 品种牛、 $B$ 品种牛中依次不放回地随机挑选3头，已知第1次挑选出的是 $B$ 品种牛，则第3次挑选出的是 $A$ 品种牛的概率为 $\frac{2}{3}$ D、客户丙从向外出售的12头牛中的 $A$ 品种牛、 $C$ 品种牛中随机挑选 $A$ 品种牛 $m$ 头、 $C$ 品种牛1头的概率为 $\frac{15}{28}$ ，则 $m = 3$

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足递推关系 $e^{a_{n}} - 1 = a_{n} e^{a_{n + 1}}$ ，且 $a_{1} > 0$ ，若存在等比数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n + 1} \leq a_{n} \leq b_{n}$ ，则 $\{b_{n}\}$ 公比 $q$ 为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{e}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{π}$

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14、某商场在有奖销售的抽奖环节，采用人工智能(AI)技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码.并规定：如果奖券码为0，则获一等奖；如果奖券码为3的正整数倍，则获二等奖，其它情况不获奖.已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为（）

A、 $\frac{80}{243}$ B、 $\frac{25}{81}$ C、 $\frac{70}{243}$ D、 $\frac{20}{81}$

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15、对于 $x > 0$ ， $e^{2 λ x} - \frac{1}{λ} \ln \sqrt{x} \geq 0$ 恒成立，则正数 $λ$ 的范围是（）

A、 $λ \geq \frac{1}{e}$ B、 $λ \geq \frac{1}{2 e}$ C、 $λ \geq 2 e$ D、 $λ \geq e$

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16、已知 $△ A B C$ 的面积为1，取 $△ A B C$ 各边的中点 $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ 作 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，然后再取 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 各边的中点 $A_{2}, B_{2}, C_{2}$ 作 $△ A_{2} B_{2} C_{2}, \dots$ 依此方法一直继续下去.记 $△ A_{n} B_{n} C_{n} (n \in N^{*})$ 的面积为 $a_{n}$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、数列 $\{2^{n} a_{n}\}$ 为常数列 B、数列 $\{2^{n} a_{n}\}$ 为递增数列 C、数列 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 为递减数列 D、数列 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 为递增数列

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17、通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到列联表如表所示：
跳绳
性别
合计
男
女
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
合计
60
50
110
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中n＝a＋b＋c＋d.
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
x_α
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
则以下结论正确的是（）

A、根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 B、根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C、根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 D、在犯错误的概率不超过0.01的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关

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18、已知事件 $A, B$ ，且 $P (A) = 0.4, P (B) = 0.5$ ，则（）

A、事件 $A$ 与事件 $B$ 互为对立事件 B、若事件 $A$ 与事件 $B$ 互斥，则 $P (A \cup B) = 0.9$ C、若事件 $A$ 与事件 $B$ 互斥，则 $P (A B) = 0.2$ D、若 $P (\bar{A} \bar{B}) = 0.3$ ，则事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立

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19、为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛.共1500名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取200名学生，并按成绩分为五组： $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ ，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占 $\frac{3}{7}$ .

(1)、求抽取的200名学生的平均成绩 $\bar{x}$ （同一组数据用该组区间的中点值代替）；

(2)、若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从中选取2人组成宣讲组，在校内进行义务宣讲，求这2人都是高三学生的概率；

(3)、若比赛成绩 $x > \bar{x} + s$ （ $s$ 为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的1500名学生成绩优秀的人数.
参考公式： $s = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} f_{i}}$ ，（ $f_{i}$ 是第 $i$ 组的频率），参考数据： $\sqrt{30} \approx 5.5$

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20、如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE．

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跳绳	性别		合计
跳绳	男	女	合计
爱好	40	20	60
不爱好	20	30	50
合计	60	50	110

α	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
x_α	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828